Un numero irrazionale non è così spaventoso come sembra; è solo un numero che non può essere espresso come una semplice frazione o, per dirla in altro modo, an il numero irrazionale è un numero decimale senza fine che continua un numero infinito di posizioni oltre il punto decimale. Puoi eseguire la maggior parte delle operazioni sui numeri irrazionali proprio come faresti con i numeri razionali, ma quando si tratta di prendere le radici quadrate, dovrai imparare ad approssimare il valore.
Cos'è un numero irrazionale?
Quindi cos'è un numero irrazionale, comunque? Potresti già avere familiarità con due numeri irrazionali molto famosi: π o "pi", che è quasi sempre abbreviato come 3,14 ma di fatto continua all'infinito a destra della virgola; e "e", alias il numero di Eulero, che di solito è abbreviato come 2,71828 ma continua anche all'infinito a destra della virgola decimale.
Ma ci sono molti più numeri irrazionali là fuori, ed ecco un modo semplice per individuarne alcuni: Se il numero sotto un segno di radice quadrata non è un quadrato perfetto, allora quella radice quadrata è un irrazionale numero.
È un boccone tremendamente grande, quindi ecco un esempio per chiarire. Aiuta anche ricordare che un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero intero:
8 è un numero irrazionale?Se hai memorizzato i tuoi quadrati perfetti o ti prendi il tempo per cercarli, lo saprai
\sqrt{4} = 2 \text{ e } \sqrt{9} = 3
Poiché √8 è tra questi due numeri, ma non c'è un intero tra 2 e 3 come radice, √8 è irrazionale.
Fare la radice quadrata di un numero irrazionale
Quando si tratta di calcolare la radice quadrata di un numero irrazionale, hai due scelte. Metti il numero irrazionale in una calcolatrice o in un calcolatore di radice quadrata online (vedi Risorse), nel qual caso la calcolatrice ti restituirà un valore approssimativo oppure puoi utilizzare un processo in quattro fasi per stimare il valore te stesso.
Esempio 1:Stimare il valore del numero irrazionale √8.
Trova i quadrati perfetti che starebbero su entrambi i lati di line8 sulla linea dei numeri. In questo caso, √4 = 2 e √9 = 3. Scegli quello più vicino al tuo numero di destinazione. Poiché 8 è molto più vicino a 9 che a 4, scegli
\sqrt{9} = 3
Quindi, dividi il numero di cui desideri la radice – 8 – per la tua stima. Continuando l'esempio, hai:
\frac{8}{3} = 2,67
Ora, trova la media del risultato del passaggio 2 con il divisore del passaggio 2. Qui, ciò significa una media di 3 e 2,67. Prima somma i due numeri e poi dividi per due:
3 + 2.67 = 5.6667
(Questo è in realtà il decimale ripetuto 5.6666666666, ma è stato arrotondato a quattro cifre decimali per motivi di brevità.)
\frac{5.6667}{2} = 2.83335
Il risultato del passaggio 3 non è ancora esatto, ma si sta avvicinando. Ripetere i passaggi 2 e 3 secondo necessità, utilizzando ogni volta il risultato del passaggio 3 come nuovo divisore nel passaggio 2.
Per continuare l'esempio, divideresti 8 per il risultato del passaggio 3 (2,83335), che ti dà:
\frac{8}{2.83335} = 2.8235
(Ancora una volta, arrotondando a quattro cifre decimali per brevità.)
Faresti quindi la media del risultato della tua divisione con il divisore, che ti dà:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \,\\ \frac{5.65685}{2} = 2.828425
Puoi continuare questo processo, ripetendo i passaggi 2 e 3 secondo necessità, fino a quando la risposta non sarà esatta come desideri.
Che dire delle radici quadrate irrazionali?
A volte, invece di trovare la radice quadrata di un numero irrazionale, devi occuparti di numeri irrazionali espressi in forma di radice quadrata: uno dei più famosi che imparerai è √2.
Non c'è molto che puoi fare con √2, a parte approssimare il suo valore come descritto sopra. Ma se ottieni un numero irrazionale più grande in forma di radice quadrata, a volte puoi usare il fatto che
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
riscrivere la risposta in una forma più semplice.
Considera la radice quadrata irrazionale √32. Sebbene non abbia una radice principale (ovvero una radice intera non negativa), puoi scomponerla in qualcosa con una radice principale familiare:
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt{2}
Non puoi ancora fare molto con √2, ma √16 = 4, quindi puoi fare un ulteriore passo avanti e scriverlo come
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Anche se non hai eliminato del tutto il segno radicale, hai semplificato questo numero irrazionale preservandone anche il valore esatto.