Quando appresi per la prima volta, concetti matematici come il minimo comune multiplo (LCM) e il minimo comune denominatore (LCD) potrebbero sembrare non correlati. Potrebbero anche sembrare molto difficili. Ma, come altre abilità matematiche, la pratica aiuta. Trovare il minimo comune multiplo di due o più numeri e il minimo comune denominatore di due o più frazioni saranno abilità preziose nelle lezioni e nelle classi di matematica in futuro.
Definizione del LCM
Il minimo comune multiplo di due (o più) numeri è chiamato minimo comune multiplo o LCM. Cosa si intende per "comune?" Comune in questo caso significa condiviso o in comune come multiplo di due (o più) numeri. Ad esempio, il minimo comune multiplo di 4 e 5 è 20. Sia 4 che 5 sono fattori di 20.
Definizione dell'LCD
Il minimo comune multiplo di due o più denominatori è chiamato minimo comune denominatore o LCD. In questo caso, il multiplo comune si verifica nel denominatore (o numero inferiore) di una frazione. Il display LCD deve essere calcolato durante l'aggiunta o la sottrazione di frazioni. Il display LCD non è necessario quando si moltiplicano o si dividono le frazioni.
LCM vs. LCD
L'LCD e l'LCM richiedono lo stesso processo matematico: trovare un multiplo comune di due (o più) numeri. L'unica differenza tra LCD e LCM è che l'LCD è l'LCM nel denominatore di una frazione. Quindi, si potrebbe dire che i minimi comuni denominatori sono un caso speciale di minimi comuni multipli.
Calcolo del LCM
La ricerca del minimo comune multiplo (LCM) di due o più numeri può essere eseguita utilizzando approcci diversi. La fattorizzazione offre un metodo rapido ed efficace per trovare l'LCM di due o più numeri.
Controllo dei fattori
Quando cerchi il minimo comune multiplo, inizia controllando se un numero è un multiplo o un fattore dell'altro numero. Ad esempio, quando cerchi il LCM di 3 e 12, nota che 12 è un multiplo di 3 perché 3 per 4 è uguale a 12 (3 × 4 = 12). Il LCM non può essere inferiore a 12 perché 12 è uno dei fattori. (Ricorda che 12 per 1 è uguale a 12 [12 × 1 = 12].) Poiché 3 e 12 sono entrambi fattori di 12, il LCM di 3 e 12 è 12. Iniziare con questo controllo fattori risolverà rapidamente alcuni problemi.
Fattorizzazione per trovare LCM
L'uso della fattorizzazione trova in modo rapido ed efficiente l'LCM di due o più numeri. Esercitati con il metodo usando numeri più semplici. Ad esempio, trova l'LCM di 5 e 12 fattorizzando ogni numero. I fattori di 5 sono limitati a 1 e 5, poiché 5 è un numero primo. La fattorizzazione di 12 inizia scomponendo 12 in 3 × 4 o 2 × 6. La soluzione del problema non dipende da quale coppia di fattori è il punto di partenza.
Partendo dai fattori 3 e 4, valuta ulteriormente i fattori di 12. Poiché 3 è un numero primo, 3 non può essere ulteriormente fattorizzato. D'altra parte, 4 fattori in 2 × 2, numeri primi. Ora 12 viene scomposto in 3 × 2 × 2 e 5 viene scomposto in 1 × 5. Combinando questi fattori si ottengono (3 × 2 × 2) e (5 × 1). Poiché non ci sono fattori ripetuti, l'LCM includerà tutti i fattori. Pertanto, l'LCM di 5 e 12 sarà
3 × 2 × 2 × 5 = 60
Guarda un altro esempio, trovando l'LCM di 4 e 10. Un multiplo comune ovvio è 40, ma 40 è il minimo comune multiplo? Usa la fattorizzazione per verificare. Innanzitutto, la fattorizzazione 4 dà 2 × 2 e la fattorizzazione 10 dà 2 × 5. Raggruppando i fattori dei due numeri vengono mostrati (2 × 2) e (2 × 5). Poiché esiste un numero comune, 2, in entrambe le fattorizzazioni, uno dei 2 può essere eliminato. La combinazione dei fattori rimanenti dà
2 × 2 × 5 = 20
La verifica della risposta mostra che 20 è un multiplo di 4 (4 × 5) e 10 (10 × 2), quindi LCM di 4 e 10 è uguale a 20.
Matematica LCD
Per aggiungere o sottrarre frazioni, le frazioni devono condividere un denominatore comune. Trovare il minimo comune denominatore significa trovare il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni. Supponiamo che il problema richieda l'aggiunta di (3/4) e (1/2). Questi numeri non possono essere aggiunti direttamente perché i denominatori, 4 e 2, non sono gli stessi. Poiché 2 è un fattore di 4, il minimo comune denominatore è 4. Moltiplicando
\frac{1}{2} × \frac{2}{2} = \frac{2}{4}
Il problema ora diventa
\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} \text{ o } 1 \, \frac{1}{4}
Un problema un po' più impegnativo,
\frac{1}{6} + \frac{3}{16}
richiede di nuovo di trovare l'LCM dei due denominatori, altrimenti noto come LCD. Usando la fattorizzazione di 6 e 16 si ottengono gli insiemi di fattori di (2 × 3) e (2 × 2 × 2 × 2). Poiché 1 2 viene ripetuto in entrambi i set di fattori, 1 2 viene eliminato dal calcolo. Il calcolo finale per l'LCM diventa
3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48
Il display LCD per
\frac{1}{6} + \frac{3}{16}
è quindi 48.