Il calcolo di una proporzione campionaria nelle statistiche di probabilità è semplice. Non solo un tale calcolo è uno strumento utile di per sé, ma è anche un modo utile per illustrare come le dimensioni del campione nelle distribuzioni normali influenzino le deviazioni standard di quei campioni.
Supponiamo che un giocatore di baseball stia battendo .300 in una carriera che include molte migliaia di presenze al piatto, il che significa che la probabilità che otterrà un il punto base ogni volta che affronta un lanciatore è 0.3. Da questo, è possibile determinare quanto vicino a .300 colpirà in un numero inferiore di piastre apparenze.
Definizioni e parametri
Per questi problemi, è importante che le dimensioni del campione siano sufficientemente grandi da produrre risultati significativi. Il prodotto della dimensione del campione n e la probabilità p dell'evento in questione che si verifica deve essere maggiore o uguale a 10 e, analogamente, il prodotto della dimensione del campione e uno meno
anche la probabilità che l'evento si verifichi deve essere maggiore o uguale a 10. In linguaggio matematico, questo significa chenp ≥ 10
e
n (1 - p) ≥ 10
Il proporzione del campionep̂ è semplicemente il numero di eventi osservati X diviso per la dimensione del campione n, o
p̂ = \frac{x}{n}
Media e deviazione standard della variabile
Il significare di X è semplicemente np, il numero di elementi nel campione moltiplicato per la probabilità che l'evento si verifichi. Il deviazione standard di X è:
\sqrt{np (1 - p)}
Tornando all'esempio del giocatore di baseball, supponiamo che abbia 100 presenze al piatto nelle sue prime 25 partite. Quali sono la media e la deviazione standard del numero di risultati che dovrebbe ottenere?
np = 100 × 0,3 = 30
e
\begin{allineato} \sqrt{np (1 - p)} &= \sqrt{100×0.3×0.7} \\ &= 10 \sqrt{0.21} \\ &= 4.58 \end{allineato}
Ciò significa che il giocatore che ottiene solo 25 valide nelle sue 100 presenze al piatto o fino a 35 non sarebbe considerato statisticamente anomalo.
Media e deviazione standard della proporzione del campione
Il significare di qualsiasi proporzione campionaria p̂ è solo p. Il deviazione standard di p̂ è:
\frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}
Per il giocatore di baseball, con 100 tentativi al piatto, la media è semplicemente 0,3 e la deviazione standard è:
\begin{allineato} \frac{\sqrt{0,3 × 0,7}}{\sqrt{100}} &= \frac{\sqrt{0,21}}{10} \\ &= 0,0458 \end{allineato}
Si noti che la deviazione standard di p̂ è di gran lunga inferiore alla deviazione standard di X.