Le radici quadrate si trovano spesso nei problemi di matematica e scienze e ogni studente deve raccogliere le basi delle radici quadrate per affrontare queste domande. Le radici quadrate chiedono "quale numero, moltiplicato per se stesso, dà il seguente risultato" e, in quanto tale, elaborarle richiede di pensare ai numeri in modo leggermente diverso. Tuttavia, puoi facilmente comprendere le regole delle radici quadrate e rispondere a tutte le domande che le riguardano, sia che richiedano calcoli diretti o semplici semplificazioni.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Una radice quadrata ti chiede quale numero, moltiplicato per se stesso, dà il risultato dopo il simbolo √. Quindi √9 = 3 e √16 = 4. Ogni root tecnicamente ha una risposta positiva e una negativa, ma nella maggior parte dei casi la risposta positiva è quella che ti interessa.
Puoi fattorizzare le radici quadrate proprio come i numeri ordinari, quindi √ab = √un √b, o √6 = √2√3.
Che cos'è una radice quadrata?
Le radici quadrate sono l'opposto di "quadrare" un numero o moltiplicarlo per se stesso. Ad esempio, tre al quadrato è nove (3
\sqrt{9} = 3
Il simbolo "√" ti dice di prendere la radice quadrata di un numero e puoi trovarlo sulla maggior parte delle calcolatrici.
Ricorda che ogni numero ha effettivamenteDueradici quadrate. Tre moltiplicato per tre fa nove, ma anche tre negativo moltiplicato per tre fa nove, quindi
3^2 = (-3)^2 = 9 \text{ e } \sqrt{9} = ±3
con il ± che sta per "più o meno". In molti casi, puoi ignorare le radici quadrate negative dei numeri, ma a volte è importante ricordare che ogni numero ha due radici.
Potrebbe esserti chiesto di prendere la "radice cubica" o la "quarta radice" di un numero. La radice cubica è il numero che, moltiplicato per se stesso due volte, è uguale al numero originale. La quarta radice è il numero che moltiplicato per se stesso tre volte è uguale al numero originale. Come le radici quadrate, queste sono esattamente l'opposto di prendere il potere dei numeri. Quindi, 33 = 27, e ciò significa che la radice cubica di 27 è 3, o
\sqrt[3]{27} = 3
Il simbolo “∛” rappresenta la radice cubica del numero che segue. Le radici sono talvolta espresse anche come potenze frazionarie, quindi
\sqrt{x} = x^{1/2} \text{ e } \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
Semplificare le radici quadrate
Uno dei compiti più impegnativi che potresti dover eseguire con le radici quadrate è semplificare le grandi radici quadrate, ma devi solo seguire alcune semplici regole per affrontare queste domande. Puoi fattorizzare le radici quadrate nello stesso modo in cui scomponi i numeri ordinari. Quindi per esempio 6 = 2 × 3, quindi
\sqrt{6} = \sqrt{2} × \sqrt{3}
Semplificare le radici più grandi significa affrontare la fattorizzazione passo dopo passo e ricordare la definizione di radice quadrata. Ad esempio, √132 è una radice grande e potrebbe essere difficile vedere cosa fare. Tuttavia, puoi facilmente vedere che è divisibile per 2, quindi puoi scrivere
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{66}
Tuttavia, 66 è anche divisibile per 2, quindi puoi scrivere:
\sqrt{2} \sqrt{66} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33}
In questo caso, una radice quadrata di un numero moltiplicata per un'altra radice quadrata dà solo il numero originale (a causa della definizione di radice quadrata), quindi
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33} = 2 \sqrt{33}
In breve, puoi semplificare le radici quadrate usando le seguenti regole
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b} \\ \sqrt{a} × \sqrt{a} = a
Qual è la radice quadrata di...
Usando le definizioni e le regole sopra, puoi trovare le radici quadrate della maggior parte dei numeri. Ecco alcuni esempi da considerare.
La radice quadrata di 8
Questo non può essere trovato direttamente perché non è la radice quadrata di un numero intero. Tuttavia, utilizzando le regole per la semplificazione dà:
\sqrt{8} = \sqrt{2} \sqrt{4} = 2 \sqrt{2}
La radice quadrata di 4
Questo fa uso della semplice radice quadrata di 4, che è √4 = 2. Il problema può essere risolto esattamente usando una calcolatrice e 8 = 2,8284...
La radice quadrata di 12
Usando lo stesso approccio, prova a calcolare la radice quadrata di 12. Dividi la radice in fattori e poi vedi se riesci a dividerla di nuovo in fattori. Prova questo come un problema pratico, quindi guarda la soluzione di seguito:
\sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{6} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}
Ancora una volta, questa espressione semplificata può essere utilizzata nei problemi secondo necessità o calcolata esattamente utilizzando una calcolatrice. Una calcolatrice lo mostra
\sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 3,4641….
La radice quadrata di 20
La radice quadrata di 20 può essere trovata allo stesso modo:
\sqrt{20} = \sqrt{2} \sqrt{10} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{5}=2 \sqrt{5} = 4.4721….
La radice quadrata di 32
Infine, affronta la radice quadrata di 32 usando lo stesso approccio:
\sqrt{32} = \sqrt{4} \sqrt{8}
Qui, nota che abbiamo già calcolato la radice quadrata di 8 come 2√2, e che √4 = 2, quindi:
\sqrt{32} = 2×2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} = 5,657...
Radice quadrata di un numero negativo
Sebbene la definizione di radice quadrata significhi che i numeri negativi non dovrebbero avere una radice quadrata (perché qualsiasi numero moltiplicato di per sé dà come risultato un numero positivo), i matematici li hanno incontrati come parte di problemi in algebra e hanno ideato un soluzione. Il numero “immaginario”ioè usato per indicare "la radice quadrata di meno 1" e qualsiasi altra radice negativa è espressa come multipli diio. Così
\sqrt{-9} = \sqrt{9} × i = ±3i
Questi problemi sono più impegnativi, ma puoi imparare a risolverli in base alla definizione diioe le regole standard per le radici.
Esempi di domande e risposte
Metti alla prova la tua comprensione delle radici quadrate semplificando secondo necessità e quindi calcolando le seguenti radici:
\sqrt{50} \\ \sqrt{36} \\ \sqrt{70} \\ \sqrt{24} \\ \sqrt{27}
Prova a risolverli prima di guardare le risposte di seguito:
\sqrt{50} = \sqrt{2} \sqrt{25} = 5 \sqrt{2} = 7.071 \\ \sqrt{36} = 6 \\ \sqrt{70} = \sqrt{7} \sqrt{ 10} = \sqrt{7} \sqrt{2} \sqrt{5} = 8.637 \\ \sqrt{24} = \sqrt{2} \sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{6} = 2 \sqrt{6} = 4.899 \\ \sqrt{27 } = \sqrt{3} \sqrt{9} = 3 \sqrt{3} = 5.196