L'algebra è piena di schemi ripetuti che potresti risolvere ogni volta con l'aritmetica. Ma poiché questi schemi sono così comuni, di solito c'è una formula di qualche tipo per aiutare a rendere più facili i calcoli. Il cubo di un binomio è un ottimo esempio: se dovessi risolverlo ogni volta, passeresti molto tempo a lavorare su carta e matita. Ma una volta che conosci la formula per risolvere quel cubo (e alcuni trucchi utili per ricordarlo), trovare la tua risposta è semplice come inserire i termini giusti negli slot delle variabili giuste.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
La formula per il cubo di un binomio (un + b) è:
(un + b)3 = un3 + 3_a_2b + 3_ab_2 + b3
Calcolo del cubo di un binomio
Non c'è bisogno di andare nel panico quando vedi un problema come problem (a + b)3 davanti a voi. Una volta che lo scomponi nei suoi componenti familiari, inizierà a sembrare problemi di matematica più familiari che hai fatto prima.
In questo caso, aiuta ricordarlo
(a + b)3
equivale a
(a + b)(a + b)(a + b), che dovrebbe sembrare molto più familiare.
Ma invece di fare i conti da zero ogni volta, puoi usare la "scorciatoia" di una formula che rappresenta la risposta che otterrai. Ecco la formula per il cubo di un binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Per utilizzare la formula, identificare quali numeri (o variabili) occupano gli slot per "a" e "b" sul lato sinistro del equazione, quindi sostituire quegli stessi numeri (o variabili) negli slot "a" e "b" sul lato destro del formula.
Esempio 1: Risolvere (x + 5)3
Come potete vedere, X occupa lo slot "a" nella parte sinistra della tua formula e 5 occupa lo slot "b". sostituzione X e 5 nella parte destra della formula ti dà:
X3 + 3x25 + 3x52 + 53
Una piccola semplificazione ti avvicina a una risposta:
X3 + 3(5)x2 + 3(25)x + 125
E infine, una volta semplificato il più possibile:
X3 + 15x2 + 75x + 125
E la sottrazione?
Non hai bisogno di una formula diversa per risolvere un problema come (y - 3)3. Se lo ricordi y - 3 equivale a y + (-3), puoi semplicemente riscrivere il problema in [y + (-3)]3 e risolvilo usando la tua formula familiare.
Esempio 2: Risolvere (y - 3)3
Come già discusso, il primo passo è riscrivere il problema in [y + (-3)]3.
Quindi, ricorda la tua formula per il cubo di un binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Nel tuo problema, sì occupa lo slot "a" sul lato sinistro dell'equazione e -3 occupa lo slot "b". Sostituiscili negli slot appropriati sul lato destro dell'equazione, facendo molta attenzione con le parentesi per preservare il segno negativo davanti a -3. Questo ti dà:
sì3 + 3 anni2(-3) + 3a(-3)2 + (-3)3
Ora è il momento di semplificare. Ancora una volta, presta molta attenzione a quel segno negativo quando applichi gli esponenti:
sì3 + 3(-3)y2 + 3(9)a + (-27)
Un altro giro di semplificazione ti dà la tua risposta:
sì3 - 9 anni2 + 27a - 27
Fai attenzione alla somma e alla differenza dei cubi
Presta sempre molta attenzione a dove si trovano gli esponenti del tuo problema. Se vedi un problema nel modulo (a + b)3, o [a + (-b)]3, allora la formula qui discussa è appropriata. Ma se il tuo problema è simile (un3 + b3) o (un3 - b3), non è il cubo di un binomio. È la somma dei cubi (nel primo caso) o la differenza dei cubi (nel secondo caso), nel qual caso si applica una delle seguenti formule:
(un3 + b3) = (a + b)(a2 - ab + b2)
(un3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)