Con il Super Bowl proprio dietro l'angolo, gli atleti e i fan di tutto il mondo hanno il focus fisso sul grande gioco. Ma per _math_letes, il grande gioco potrebbe far venire in mente un piccolo problema relativo ai possibili punteggi in una partita di calcio. Con solo opzioni limitate per la quantità di punti che puoi segnare, alcuni totali semplicemente non possono essere raggiunti, ma qual è il più alto? Se vuoi sapere cosa collega le monete, il calcio e le crocchette di pollo di McDonald's, questo è un problema per te.
Il problema di matematica del Super Bowl
Il problema riguarda i possibili punteggi che i Los Angeles Rams o i New England Patriots potrebbero ottenere domenica senza una conversione di sicurezza o a due punti. In altre parole, i modi consentiti per aumentare i loro punteggi sono i field goal da 3 punti e i touchdown da 7 punti. Quindi, senza sicurezze, non puoi ottenere un punteggio di 2 punti in una partita con qualsiasi combinazione di 3 e 7. Allo stesso modo, non puoi nemmeno ottenere un punteggio di 4, né puoi segnare 5.
La domanda è: Qual è il punteggio più alto che non posso essere raggiunto con solo field goal da 3 punti e touchdown da 7 punti?
Ovviamente, i touchdown senza conversione valgono 6, ma dal momento che puoi comunque arrivarci con due field goal, non importa per il problema. Inoltre, poiché qui ci occupiamo di matematica, non devi preoccuparti delle tattiche della squadra specifica o persino dei limiti alla loro capacità di segnare punti.
Prova a risolverlo da solo prima di andare avanti!
Trovare una soluzione (la via lenta)
Questo problema ha alcune soluzioni matematiche complesse (vedi Risorse per i dettagli completi, ma il risultato principale verrà introdotto di seguito), ma è un buon esempio di come questo non sia necessario per trovare la risposta.
Tutto quello che devi fare per trovare una soluzione di forza bruta è semplicemente provare ciascuno dei punteggi a turno. Quindi sappiamo che non puoi segnare 1 o 2, perché sono meno di 3. Abbiamo già stabilito che 4 e 5 non sono possibili, ma 6 lo è, con due field goal. Dopo 7 (che è possibile), puoi segnare 8? No. Tre field goal danno 9, e un field goal e un touchdown convertito fanno 10. Ma non puoi ottenere 11.
Da questo punto in poi, un piccolo lavoro mostra che:
\begin{allineato} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{allineato}
E infatti, puoi continuare così per tutto il tempo che vuoi. La risposta sembra essere 11. Ma lo è?
La soluzione algebrica
I matematici chiamano questi problemi "problemi della moneta di Frobenius". La forma originale relativa alle monete, come: Se avessi solo monete valutate 4 cent e 11 cent (non monete reali, ma di nuovo, sono problemi di matematica per te), qual è la più grande quantità di denaro che non potresti produrre.
La soluzione, in termini di algebra, è quella con un punteggio che vale p punti e un punteggio che vale q punti, il punteggio più alto che non puoi ottenere (no) è dato da:
N = pq \; – \;(p + q)
Quindi inserendo i valori del problema del Super Bowl si ottiene:
\begin{allineato} N &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10\\ &= 11 \end{allineato}
Che è la risposta che abbiamo ottenuto nel modo lento. E se potessi segnare solo touchdown senza conversione (6 punti) e touchdown con conversioni di un punto (7 punti)? Vedi se riesci a usare la formula per risolverlo prima di continuare a leggere.
In questo caso la formula diventa:
\begin{allineato} N &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13\\ &= 29 \end{allineato}
Il problema del pollo McNugget
Quindi il gioco è finito e vuoi premiare la squadra vincente con un viaggio da McDonald's. Ma vendono solo McNuggets in scatole da 9 o 20. Quindi qual è il maggior numero di pepite che hai? non posso acquistare con questi numeri di scatola (obsoleti)? Prova a usare la formula per trovare la risposta prima di continuare a leggere.
Da
N = pq \; – \;(p + q)
E con p = 9 e q = 20:
\begin{allineato} N &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29\\ &= 151 \end{allineato}
Quindi, a condizione che tu stia acquistando più di 151 pepite - la squadra vincente sarà probabilmente piuttosto affamata, dopotutto - potresti acquistare qualsiasi numero di pepite che desideri con una combinazione di scatole.
Ti starai chiedendo perché abbiamo trattato solo versioni a due numeri di questo problema. E se incorporassimo le sicurezze, o se McDonalds vendesse tre formati di scatole per pepite? C'è nessuna formula chiara in questo caso, e mentre la maggior parte delle versioni può essere risolta, alcuni aspetti della questione sono completamente irrisolti.
Quindi forse quando guardi la partita o mangi bocconcini di pollo puoi affermare che stai cercando di risolvere un problema aperto in matematica: vale la pena provare a liberarsi dalle faccende!