UNvettoreè una quantità a cui sono associate sia la grandezza che la direzione. Questo è diverso da ascalarequantità, che corrisponde solo a una grandezza. La velocità è un esempio di quantità vettoriale. Ha sia una grandezza (quanto velocemente sta andando qualcosa) che una direzione (la direzione in cui sta viaggiando).
I vettori sono spesso disegnati come frecce. La lunghezza della freccia corrisponde alla grandezza del vettore e la punta della freccia indica la direzione.
Ci sono due modi per lavorare con l'addizione e la sottrazione di vettori. Il primo è graficamente, manipolando i diagrammi a freccia dei vettori stessi. Il secondo è matematico, che dà risultati esatti.
Addizione e sottrazione grafica vettoriale in una dimensione
Quando si aggiungono due vettori, si posiziona la coda del secondo vettore sulla punta del primo vettore mantenendo l'orientamento del vettore. Ilvettore risultanteè un vettore che inizia alla coda del primo vettore e punta in linea retta alla punta del secondo vettore.
Ad esempio, considera l'aggiunta di vettoriUNeBche puntano nella stessa direzione lungo una linea. Li posizioniamo "dalla punta alla coda" e il vettore risultante,C, punta nella stessa direzione e ha una lunghezza che è la somma delle lunghezze diUNeB.
Sottrarre vettori in una dimensione è essenzialmente lo stesso che sommare, tranne per il "capovolgimento" del secondo vettore. Ciò deriva direttamente dal fatto che la sottrazione equivale all'aggiunta di un negativo.
Addizione e sottrazione di vettori matematici in una dimensione
Quando si lavora in una dimensione, la direzione di un vettore può essere indicata da un segno. Scegliamo una direzione come direzione positiva (in genere "su" o "destra" vengono scelti come positivi) e assegniamo qualsiasi vettore che punta in quella direzione come una quantità positiva. Qualsiasi vettore che punta nella direzione negativa è una quantità negativa. Quando si aggiungono o si sottrae vettori, aggiungere o sottrarre le loro grandezze con i segni appropriati allegati.
Supponiamo nella sezione precedente, vettoreUNaveva magnitudine 3 e vettore andBaveva magnitudo 5. Allora vettore risultanteC = A + B =8, un vettore di grandezza 8 che punta nella direzione positiva, e vettore risultante andD = A - B =-2, un vettore di grandezza 2 che punta nella direzione negativa. Nota che questo è coerente con i risultati grafici di prima.
Suggerimento: fai attenzione ad aggiungere solo vettori dello stesso tipo: velocità + velocità, forza + forza e così via. Come per tutta la matematica in fisica, le unità devono corrispondere!
Addizione e sottrazione grafica vettoriale in due dimensioni
Se il primo vettore e il secondo vettore non sono lungo la stessa linea nello spazio cartesiano, puoi usare lo stesso metodo "dalla punta alla coda" per sommarli o sottrarli. Per aggiungere due vettori, immagina semplicemente di sollevare il secondo e posizionare la coda sulla punta del primo mantenendo il suo orientamento come mostrato. Il vettore risultante è una freccia che inizia alla coda del primo vettore e termina alla punta del secondo vettore:
Proprio come in una dimensione, sottrarre un vettore da un altro equivale a capovolgere e aggiungere. Graficamente, questo assomiglia al seguente:
•••Dana Chen | scienze
Nota: a volte l'aggiunta di vettori viene mostrata graficamente mettendo insieme le code dei due vettori di addendo e creando un parallelogramma. Il vettore risultante è quindi la diagonale di questo parallelogramma.
Addizione e sottrazione di vettori matematici in due dimensioni
Per aggiungere e sottrarre vettori in due dimensioni matematicamente, segui questi passaggi:
Scomponi ogni vettore in anX-componente, talvolta chiamato componente orizzontale, e asì-componente, a volte chiamato componente verticale, usando la trigonometria. (Si noti che i componenti possono essere negativi o positivi a seconda della direzione in cui punta il vettore)
Aggiungi ilX-componenti di entrambi i vettori insieme, quindi aggiungere ilsì-componenti di entrambi i vettori insieme. Questo risultato ti dà ilXesìcomponenti del vettore risultante.
La grandezza del vettore risultante può essere trovata usando il teorema di Pitagora.
La direzione del vettore risultante può essere trovata tramite la trigonometria usando la funzione tangente inversa. Questa direzione è tipicamente data come un angolo rispetto al positivoX-asse.
Trigonometria nell'addizione vettoriale
Ricorda le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo dalla trigonometria.
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ theta)=\frac{b}{a}
Teorema di Pitagora:
c^2=a^2+b^2
Il movimento del proiettile fornisce esempi classici di come potremmo usare queste relazioni sia per scomporre un vettore sia per determinare la grandezza e la direzione finali di un vettore.
Considera due persone che giocano a palla. Supponiamo che ti venga detto che la palla viene lanciata da un'altezza di 1,3 m con una velocità di 16 m/s con un angolo di 50 gradi con l'orizzontale. Per iniziare ad analizzare questo problema, dovrai scomporre questo vettore di velocità iniziale inXesìcomponenti come mostrato:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12.3\testo{ m/s}
Se il ricevitore manca la palla e questa cade a terra, con quale velocità finale colpirà?
Utilizzando le equazioni cinematiche, siamo in grado di determinare che le componenti finali della velocità della palla sono:
v_{xf}=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yf}=-13.3\text{ m/s}
Il teorema di Pitagora ci permette di trovare la grandezza:
v_{f}=\sqrt{(10,3)^2+ (-13,3)^2}=16.8\text{ m/s}
E la trigonometria ci consente di determinare l'angolo:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{-13.3}{10.3}\Big)=-52.2\degree
Esempio di addizione e sottrazione vettoriale
Considera un'auto che gira un angolo. supponiamovioperché l'auto è inX-direzione con magnitudo 10 m/s, evfè ad un angolo di 45 gradi con il positivoX-asse con magnitudo 10 m/s. Se questo cambiamento di movimento avviene in 3 secondi, qual è l'ampiezza e la direzione dell'accelerazione dell'auto mentre gira?
Ricorda quell'accelerazioneunè una grandezza vettoriale definita come:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Dovevfeviosono rispettivamente velocità finale e iniziale (e quindi sono anche quantità vettoriali).
Per calcolare la differenza vettorialevf - vio,dobbiamo prima scomporre i vettori di velocità iniziale e finale:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
Quindi sottraiamo il finaleXesìcomponenti dall'inizialeXesìcomponenti per ottenere componenti divf - vio:
Quindi sottraiamo ilXesìcomponenti:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\testo{ m/s}
Quindi dividi ciascuno per il tempo per ottenere le componenti del vettore di accelerazione:
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
Usa il teorema di Pitagora per trovare il modulo del vettore di accelerazione:
a=\sqrt{(-0.977)^2+(2.36)^2}=2.55\text{ m/s}^2
Infine, usa la trigonometria per trovare la direzione del vettore di accelerazione:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{2.36}{-0.977}\Big)=113\degree