Confronto dei momenti di inerzia per oggetti comuni (con diagrammi)

I fisici confrontano i momenti di inerzia per oggetti rotanti per determinare quali saranno più difficili da accelerare o rallentare. Questo vale per le situazioni del mondo reale come capire quali oggetti rotolano più velocemente in una gara.

I fattori che modificano il momento d'inerzia di un oggetto sono la sua massa, il modo in cui tale massa è distribuita – determinata dalla sua forma e raggio – e l'asse di rotazione su cui ruota.

Questo diagramma mostra le equazioni del momento di inerzia per diverse forme comuni che ruotano attorno a diversi assi di rotazione.

Ecco alcuni esempi di problemi di fisica che richiedono l'utilizzo di momenti di inerzia per confrontare vari oggetti.

1. Quale delle seguenti sarà la più facile da avviare: una sfera cava di 7 kg di raggio 0,2 m o una sfera piena di 10 kg dello stesso raggio?

Inizia trovando i momenti di inerzia per ogni oggetto. Secondo la tabella, l'equazione per asfera cavaè:io = 2/3mr², e l'equazione per asfera solidaèio = 2/5 mr².​

Sostituendo le masse e i raggi dati:

​Sfera cava​: ​io = 2/3(7kg)(0.2m)² =​ ​0.19​ ​kgm²​

​Solido​ ​sfera​: ​io = 2/5(10kg)(0.2m)² =​ ​0.16​ ​kgm²​ ​
​

Il momento d'inerzia èpiù piccolo per la sfera solida, così saràè più facile iniziare a girare​.

2. In che modo è più difficile ruotare una matita: circa la sua lunghezza, intorno al suo centro o da un capo all'altro? Supponiamo che la matita abbia una lunghezza di 10 cm (0,1 m) e un raggio della sezione trasversale di 3 mm (0,003 m).

In questo caso, la massa della matita non ha importanza nel confronto poiché non cambia.

Per determinare quali equazioni si applicano, approssimare la forma di una matita come un cilindro.

Quindi, le tre equazioni del momento d'inerzia necessarie sono:

​Cilindro sulla sua lunghezza(l'asse attraversa tutto, dalla punta alla gomma, quindi il raggio all'asse di rotazioneèil raggio della sua sezione trasversale):

​Cilindro intorno al suo centro(tenuto al centro, quindi il raggio della sua rotazione èmetà della sua lunghezza​):

​Cilindro intorno alla sua estremità(tenuto dalla punta o dalla gomma, quindi il raggio rispetto all'asse di rotazioneèla sua lunghezza):

​Maggiore è il momento d'inerzia di un oggetto, più difficile sarà avviare (o arrestare) la sua rotazione.Poiché ogni valore viene moltiplicato per lo stessom, maggiore è il valore della frazione moltiplicato per r², maggiore sarà il momento d'inerzia. In questo caso 0.0033333 > 0.0002083 > 0.0000045, quindi è sopiù difficile ruotare una matita intorno alla sua estremitàrispetto agli altri due assi.

3. Quale oggetto raggiungerà per primo il fondo di una rampa se hanno tutti la stessa massa e raggio e vengono tutti rilasciati dall'alto contemporaneamente: un cerchio, un cilindro o una sfera solida? Ignora l'attrito.

La chiave per rispondere a questo problema è applicare una comprensione diconservazione dell'energia. Se tutti gli oggetti hanno la stessa massa e iniziano alla stessa altezza, devono iniziare con la stessa quantità dienergia potenziale gravitazionale. Questo è ilenergia totalehanno a disposizione per convertirsi in energia cinetica e scendere dalla rampa.

Poiché gli oggetti rotolano giù dalla rampa, devono convertire la loro energia potenziale iniziale in entrambienergie cinetiche rotazionali e lineari​.

Ecco il trucco: più energia da quella torta totale richiede all'oggettoinizia a girare, meno avrà a disposizione permoto lineare. Questo significapiù è facile far rotolare un oggetto, più velocemente si sposterà linearmente lungo la rampa, vincendo la gara​.

Quindi, poiché tutte le masse e i raggi sono gli stessi, il semplice confronto delle frazioni davanti a ogni equazione del momento d'inerzia rivela la risposta:

​Sfera solida:​ ​io =2/5Sig²​

​Cerchio su un asse:​ ​io = mr²​

​Cilindro solido sulla sua lunghezza:​ ​io =1/2Sig²​

Dal momento d'inerzia più piccolo al più grande, e quindidal primo all'ultimo a raggiungere il fondo: sfera, cilindro, cerchio.