Distribuzione di Maxwell-Boltzmann: funzione, derivazione ed esempi

Descrivere ciò che sta accadendo con particelle molto piccole è una sfida in fisica. Non solo è difficile lavorare con le loro dimensioni, ma nella maggior parte delle applicazioni quotidiane, non hai a che fare con una singola particella, ma innumerevoli di esse interagiscono tra loro.

All'interno di un solido, le particelle non si muovono l'una accanto all'altra, ma sono praticamente bloccate sul posto. Tuttavia, i solidi possono espandersi e contrarsi con le variazioni di temperatura e talvolta anche subire interessanti cambiamenti nelle strutture cristalline in determinate situazioni.

Nei liquidi, le particelle sono libere di muoversi l'una sull'altra. Gli scienziati non tendono a studiare i fluidi, tuttavia, cercando di tenere traccia di ciò che sta facendo ogni singola molecola. Invece guardano a proprietà più grandi dell'insieme, come viscosità, densità e pressione.

Proprio come con i liquidi, anche le particelle all'interno di un gas sono libere di muoversi l'una accanto all'altra. I gas, infatti, possono subire notevoli variazioni di volume a causa delle differenze di temperatura e pressione.

Ancora una volta, non ha senso studiare un gas tenendo traccia di ciò che fa ogni singola molecola di gas, anche all'equilibrio termico. Non sarebbe fattibile, soprattutto se si considera che anche nello spazio di un bicchiere vuoto ci sono circa 10²² molecole d'aria. Non esiste nemmeno un computer abbastanza potente per eseguire una simulazione di così tante molecole interagenti. Gli scienziati utilizzano invece proprietà macroscopiche come pressione, volume e temperatura per studiare i gas e fare previsioni accurate.

Il tipo di gas più facile da analizzare è un gas ideale. È l'ideale perché consente alcune semplificazioni che rendono la fisica molto più facile da capire. Molti gas a temperature e pressioni standard agiscono approssimativamente come gas ideali, il che rende utile anche il loro studio.

In un gas ideale, si presume che le stesse molecole di gas si scontrino in collisioni perfettamente elastiche in modo che non sia necessario preoccuparsi dell'energia che cambia forma a causa di tali collisioni. Si presume inoltre che le molecole siano molto distanti l'una dall'altra, il che significa essenzialmente non devi preoccuparti che combattano tra loro per lo spazio e puoi trattarli come punti treat particelle. Anche i gas ideali non sono né troppo caldi né troppo freddi, quindi non devi preoccuparti di effetti come la ionizzazione o gli effetti quantistici.

Da qui le particelle di gas possono essere trattate come piccole particelle puntiformi che rimbalzano all'interno del loro contenitore. Ma anche con questa semplificazione, non è ancora possibile comprendere i gas monitorando ciò che fa ogni singola particella. Tuttavia, consente agli scienziati di sviluppare modelli matematici che descrivono le relazioni tra quantità macroscopiche.

La legge dei gas ideali mette in relazione la pressione, il volume e la temperatura di un gas ideale. La pressionePdi un gas è la forza per unità di superficie che esercita sulle pareti del contenitore in cui si trova. L'unità SI della pressione è il pascal (Pa) dove 1Pa = 1N/m². Il volumeVdel gas è la quantità di spazio che occupa in unità SI di m³. E la temperaturaTdel gas è una misura dell'energia cinetica media per molecola, misurata in unità SI di Kelvin.

L'equazione che descrive la legge dei gas ideali può essere scritta come segue:

Dovenoè il numero di molecole o il numero di particelle e la costante di BoltzmannK​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/S²K.

Una formulazione equivalente di questa legge è:

Dovenè il numero di moli e la costante universale dei gasR= 8,3145 J/molK.

Queste due espressioni sono equivalenti. Quale scegli di usare dipende semplicemente dal fatto che stai misurando il numero di molecole in moli o in numero di molecole.

• 1 mole = 6.022×10²³ molecole, che è il numero di Avogadro.

Una volta che un gas è stato approssimato come ideale, puoi fare un'ulteriore semplificazione. Cioè, invece di considerare l'esatta fisica di ogni molecola - cosa che sarebbe impossibile a causa del loro semplice numero - vengono trattate come se i loro movimenti fossero casuali. Per questo motivo, le statistiche possono essere applicate per capire cosa sta succedendo.

Nel XIX secolo, i fisici James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann svilupparono la teoria cinetica dei gas basata sulle semplificazioni descritte.

Classicamente, ad ogni molecola di un gas può essere attribuita un'energia cinetica della forma:

Non tutte le molecole del gas, tuttavia, hanno la stessa energia cinetica perché sono costantemente in collisione. L'esatta distribuzione delle energie cinetiche delle molecole è data dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Le statistiche di Maxwell-Boltzmann descrivono la distribuzione delle molecole di gas ideali su vari stati energetici. La funzione che descrive questa distribuzione è la seguente:

DoveUNè una costante di normalizzazione,Eè energia,Kè la costante di Boltzmann eTè la temperatura.

Ulteriori assunzioni fatte per ottenere questa funzione sono che, a causa della loro natura punto-particella, non c'è limite a quante particelle possono occupare un dato stato. Inoltre, la distribuzione delle particelle tra gli stati energetici assume necessariamente la distribuzione più probabile (con un numero maggiore di particelle, le probabilità che il gas non si avvicini a questa distribuzione aumentano piccolo). E infine, tutti gli stati energetici sono ugualmente probabili.

Queste statistiche funzionano perché è estremamente improbabile che una data particella possa finire con un'energia significativamente al di sopra della media. Se lo facesse, lascerebbe molti meno modi per distribuire il resto dell'energia totale. Si riduce a un gioco di numeri: poiché ci sono molti più stati energetici che non hanno una particella molto al di sopra della media, la probabilità che il sistema si trovi in ​​tale stato è incredibilmente piccola.

Tuttavia, le energie inferiori alla media sono più probabili, sempre a causa di come si svolgono le probabilità. Poiché tutto il movimento è considerato casuale e ci sono molti modi in cui una particella può finire in uno stato di bassa energia, questi stati sono favoriti.

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è la distribuzione delle velocità delle particelle di gas ideali. Questa funzione di distribuzione della velocità può essere derivata dalle statistiche di Maxwell-Boltzmann e utilizzata per derivare le relazioni tra pressione, volume e temperatura.

La distribuzione della velocitàvè dato dalla seguente formula:

Dovemè la massa di una molecola.

La curva di distribuzione associata, con la funzione di distribuzione della velocità sulsì-asse e la velocità molecolare sulX-axis, assomiglia più o meno a una curva normale asimmetrica con una coda più lunga a destra. Ha un valore di picco alla velocità più probabilev_p, e una velocità media data da:

Nota anche come ha una coda lunga e stretta. La curva cambia leggermente a temperature diverse, con la coda lunga che diventa "più grassa" a temperature più elevate.

Usa la relazione:

DoveE_intè l'energia interna,KE​_​media​ è l'energia cinetica media per molecola dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Insieme alla legge dei gas ideali, è possibile ottenere una relazione tra pressione e volume in termini di moto molecolare: