Quando comprimi o estendi una molla – o qualsiasi materiale elastico – saprai istintivamente cosa accadrà succede quando rilasci la forza che stai applicando: la molla o il materiale tornerà al suo originale lunghezza.
È come se ci fosse una forza di "ripristino" nella molla che assicura che ritorni al suo stato naturale, non compresso e non esteso dopo aver rilasciato lo stress che stai applicando al materiale. Questa comprensione intuitiva - che un materiale elastico ritorna alla sua posizione di equilibrio dopo che qualsiasi forza applicata è stata rimossa - è quantificata in modo molto più preciso daLegge di Hooke.
La legge di Hooke prende il nome dal suo creatore, il fisico britannico Robert Hooke, che affermò nel 1678 che "l'estensione è proporzionale alla vigore." La legge descrive essenzialmente una relazione lineare tra l'estensione di una molla e la forza di richiamo che essa provoca nel in primavera; in altre parole, ci vuole il doppio della forza per allungare o comprimere una molla il doppio.
La legge, pur essendo molto utile in molti materiali elastici, detti materiali “elastici lineari” o “Hookean”, non si applica aognisituazione ed è tecnicamente un'approssimazione.
Tuttavia, come molte approssimazioni in fisica, la legge di Hooke è utile nelle molle ideali e in molti materiali elastici fino al loro "limite di proporzionalità". Ilcostante chiave della proporzionalità nella legge è la costante della molla spring, e imparare ciò che questo ti dice, e imparare a calcolarlo, è essenziale per mettere in pratica la legge di Hooke.
La formula della legge di Hooke
La costante della molla è una parte fondamentale della legge di Hooke, quindi per capire la costante, devi prima sapere cos'è la legge di Hooke e cosa dice. La buona notizia è una legge semplice, che descrive una relazione lineare e ha la forma di un'equazione lineare di base. La formula per la legge di Hooke riguarda specificamente la variazione di estensione della molla,X, alla forza restauratrice,F, generato in esso:
F = −kx
Il termine in più,K, è la costante della molla. Il valore di questa costante dipende dalle qualità della molla specifica e questo può essere derivato direttamente dalle proprietà della molla se necessario. Tuttavia, in molti casi, specialmente nelle lezioni introduttive di fisica, ti verrà semplicemente assegnato un valore per la costante della molla in modo da poter andare avanti e risolvere il problema in questione. È anche possibile calcolare direttamente la costante della molla usando la legge di Hooke, a patto di conoscere l'estensione e l'intensità della forza.
Introducendo la costante di primavera,K
La “dimensione” del rapporto tra estensione e forza di richiamo della molla è racchiusa nel valore della costante della molla,K. La costante della molla mostra quanta forza è necessaria per comprimere o estendere una molla (o un pezzo di materiale elastico) di una data distanza. Se pensi a cosa significa in termini di unità, o esamini la formula della legge di Hooke, puoi vedere che la costante della molla ha unità di forza sulla distanza, quindi in unità SI, newton/metro.
Il valore della costante della molla corrisponde alle proprietà della specifica molla (o altro tipo di oggetto elastico) in esame. Una costante della molla più alta significa una molla più rigida che è più difficile da allungare (perché per un dato spostamento,X, la forza risultanteFsarà più alto), mentre una molla più morbida e più facile da allungare avrà una costante di molla più bassa. In breve, la costante della molla caratterizza le proprietà elastiche della molla in questione.
L'energia potenziale elastica è un altro importante concetto relativo alla legge di Hooke e caratterizza l'energia immagazzinato nella molla quando è esteso o compresso che gli consente di impartire una forza di ripristino quando si rilascia la fine. Comprimendo o estendendo la molla si trasforma l'energia che si trasmette in potenziale elastico, e quando si... rilasciarlo, l'energia viene convertita in energia cinetica mentre la molla ritorna nella sua posizione di equilibrio.
Direzione nella legge di Hooke
Avrai sicuramente notato il segno meno nella legge di Hooke. Come sempre, la scelta della direzione "positiva" è sempre in ultima analisi arbitraria (puoi impostare gli assi in modo che corrano in qualsiasi direzione tu come, e la fisica funziona esattamente allo stesso modo), ma in questo caso il segno negativo ricorda che la forza è un ripristino vigore. "Forza di ripristino" significa che l'azione della forza è di riportare la molla nella sua posizione di equilibrio.
Se chiami la posizione di equilibrio dell'estremità della molla (cioè la sua posizione "naturale" senza forze applicate)X= 0, quindi l'estensione della molla porterà a un positivoX, e la forza agirà nella direzione negativa (cioè, indietro versoX= 0). La compressione corrisponde invece ad un valore negativo perX, e quindi la forza agisce nella direzione positiva, di nuovo versoX= 0. Indipendentemente dalla direzione dello spostamento della molla, il segno negativo descrive la forza che la fa arretrare nella direzione opposta.
Naturalmente, la primavera non deve muoversi nelXdirezione (si potrebbe ugualmente scrivere la legge di Hooke consìozal suo posto), ma nella maggior parte dei casi, i problemi che coinvolgono il diritto sono in una dimensione, e questo si chiamaXper comodità.
Equazione dell'energia potenziale elastica
Il concetto di energia potenziale elastica, introdotto insieme alla costante elastica in precedenza nell'articolo, è molto utile se vuoi imparare a calcolareKutilizzando altri dati. L'equazione per l'energia potenziale elastica mette in relazione lo spostamento,X, e la costante di primavera,K, al potenziale elasticoPEel, e assume la stessa forma di base dell'equazione per l'energia cinetica:
PE_{el}=\frac{1}{2}kx^2
Come forma di energia, le unità di energia potenziale elastica sono joule (J).
L'energia potenziale elastica è pari al lavoro svolto (ignorando dispersioni di calore o altri sprechi), e si può calcolalo facilmente in base alla distanza in cui la molla è stata allungata se conosci la costante della molla per il primavera. Allo stesso modo, puoi riorganizzare questa equazione per trovare la costante della molla se conosci il lavoro svolto (poichéW = PEel) nell'allungare la molla e quanto la molla è stata allungata.
Come calcolare la costante di primavera
Ci sono due semplici approcci che puoi usare per calcolare la costante della molla, usando la legge di Hooke, insieme ad alcuni dati sulla forza della forza di ripristino (o applicata) e la spostamento della molla dalla sua posizione di equilibrio, o utilizzando l'equazione dell'energia potenziale elastica accanto alle figure per il lavoro svolto nell'estensione della molla e lo spostamento primavera.
Usare la legge di Hooke è l'approccio più semplice per trovare il valore della costante della molla e puoi anche ottenere i dati da soli attraverso una semplice configurazione in cui si appende una massa nota (con la forza del suo peso dato daF = mg) da una molla e registrare l'estensione della molla. Ignorando il segno meno nella legge di Hooke (poiché la direzione non ha importanza per calcolare il valore della costante elastica) e dividendo per lo spostamento,X, dà:
k=\frac{F}{x}
L'uso della formula dell'energia potenziale elastica è un processo altrettanto semplice, ma non si presta altrettanto bene a un semplice esperimento. Tuttavia, se conosci l'energia potenziale elastica e lo spostamento, puoi calcolarlo usando:
k=\frac{2PE_{el}}{x^2}
In ogni caso ti ritroverai con un valore con unità di N/m.
Calcolo della costante di primavera: problemi di esempio di base
Una molla con un peso aggiunto di 6 N si allunga di 30 cm rispetto alla sua posizione di equilibrio. Qual è la costante di primavera?Kper la primavera?
Affrontare questo problema è facile se pensi alle informazioni che ti sono state fornite e converti lo spostamento in metri prima di calcolare. Il peso di 6 N è un numero in newton, quindi dovresti sapere immediatamente che è una forza e la distanza percorsa dalla molla dalla sua posizione di equilibrio è lo spostamento,X. Quindi la domanda ti dice cheF= 6 N eX= 0,3 m, il che significa che puoi calcolare la costante della molla come segue:
\begin{aligned} k&=\frac{F}{x} \\ &= \frac{6\;\text{N}}{0.3\;\text{m}} \\ &= 20\;\text {N/m} \end{allineato}
Per un altro esempio, immagina di sapere che 50 J di energia potenziale elastica sono contenuti in una molla che è stata compressa a 0,5 m dalla sua posizione di equilibrio. Qual è la costante della molla in questo caso? Ancora una volta, l'approccio consiste nell'identificare le informazioni di cui si dispone e nell'inserire i valori nell'equazione. Ecco, lo puoi vederePEel = 50 J eX= 0,5 metri. Quindi l'equazione dell'energia potenziale elastica riorganizzata dà:
\begin{allineato} k&=\frac{2PE_{el}}{x^2} \\ &= \frac{2×50\;\text{J}}{(0.5\;\text{m})^ 2} \\ &=\frac{100\;\text{J}}{0.25 \;\text{m}^2} \\ &= 400\;\text{N/m} \end{allineato}
La costante della molla: problema delle sospensioni dell'auto
Un'auto di 1800 kg ha un sistema di sospensione che non può superare 0,1 m di compressione. Quale costante elastica deve avere la sospensione?
Questo problema potrebbe apparire diverso dagli esempi precedenti, ma alla fine il processo di calcolo della costante della molla,K, è esattamente lo stesso. L'unico passaggio aggiuntivo è tradurre la massa dell'auto in apeso(cioè la forza di gravità che agisce sulla massa) su ciascuna ruota. Sai che la forza dovuta al peso dell'auto è data daF = mg, doveg= 9,81 m/s2, l'accelerazione di gravità sulla Terra, quindi puoi regolare la formula della legge di Hooke come segue:
\begin{allineato} k&=\frac{F}{x} \\ &=\frac{mg}{x} \end{allineato}
Tuttavia, solo un quarto della massa totale dell'auto poggia su qualsiasi ruota, quindi la massa per molla è 1800 kg / 4 = 450 kg.
Ora devi semplicemente inserire i valori noti e risolvere per trovare la forza delle molle necessarie, osservando che la compressione massima, 0,1 m è il valore perXdovrai usare:
\begin{allineato} k&= \frac{450 \;\text{kg} × 9.81 \;\text{m/s}^2}{0.1 \;\text{m}} \\ &= 44,145 \;\ testo{N/m} \end{allineato}
Questo potrebbe anche essere espresso come 44,145 kN/m, dove kN significa "kilonewton" o "migliaia di newton".
I limiti della legge di Hooke
È importante sottolineare ancora una volta che la legge di Hooke non si applica aognisituazione, e per usarlo in modo efficace dovrai ricordare i limiti della legge. La costante primaverile,K, è il gradiente della rettaporzionedel grafico diFcontroX; in altre parole, forza applicata vs. spostamento dalla posizione di equilibrio.
Tuttavia, superato il “limite di proporzionalità” per il materiale in questione, il rapporto non è più lineare e la legge di Hooke cessa di applicarsi. Allo stesso modo, quando un materiale raggiunge il suo "limite elastico", non risponderà come una molla e sarà invece deformato in modo permanente.
Infine, la legge di Hooke presuppone una "molla ideale". Parte di questa definizione è che la risposta della molla è lineare, ma si presume anche che sia priva di massa e senza attrito.
Queste ultime due limitazioni sono del tutto irrealistiche, ma aiutano a evitare complicazioni derivanti dalla forza di gravità che agisce sulla molla stessa e dalla perdita di energia per attrito. Ciò significa che la legge di Hooke sarà sempre approssimativa anziché esatta, anche nel limite della proporzionalità, ma le deviazioni di solito non causano problemi a meno che non siano necessarie risposte molto precise.