Il calcolo della traiettoria di un proiettile serve come un'utile introduzione ad alcuni concetti chiave della fisica classica, ma ha anche molto spazio per includere fattori più complessi. Al livello più elementare, la traiettoria di un proiettile funziona proprio come la traiettoria di qualsiasi altro proiettile. La chiave è separare le componenti della velocità negli assi (x) e (y) e utilizzare l'accelerazione costante dovuta alla gravità per calcolare quanto lontano può volare il proiettile prima di colpire il suolo. Tuttavia, puoi anche incorporare il trascinamento e altri fattori se desideri una risposta più precisa.
Ignora la resistenza al vento per calcolare la distanza percorsa da un proiettile utilizzando la semplice formula:
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Dove (v0x) è la sua velocità iniziale, (h) è l'altezza da cui viene sparato e (g) è l'accelerazione di gravità.
Questa formula incorpora la resistenza:
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Qui, (C) è il coefficiente di resistenza del proiettile, (ρ) è la densità dell'aria, (A) è l'area del proiettile, (t) è il tempo di volo e (m) è la massa del proiettile.
Lo sfondo: (x) e (y) componenti della velocità
Il punto principale che devi capire quando calcoli le traiettorie è che velocità, forze o qualsiasi altro "vettore" (che ha una direzione oltre che una forza) possono essere suddivisa in "componenti". Se qualcosa si muove con un angolo di 45 gradi rispetto all'orizzontale, pensalo come se si muovesse orizzontalmente con una certa velocità e verticalmente con una certa velocità. Combinando queste due velocità e tenendo conto delle loro diverse direzioni, si ottiene la velocità dell'oggetto, inclusa sia la velocità che la direzione risultante.
Usa le funzioni cos e sin per separare le forze o le velocità nelle loro componenti. Se qualcosa si muove a una velocità di 10 metri al secondo con un angolo di 30 gradi rispetto all'orizzontale, la componente x della velocità è:
v_x=v\cos{\theta}=(10\text{ m/s})\cos{30}=8.66\text{ m/s}
Dove (v) è la velocità (cioè 10 metri al secondo) e puoi inserire qualsiasi angolo al posto di (θ) per adattarlo al tuo problema. La componente (y) è data da un'espressione simile:
v_y=v\sin{\theta}=(10\text{ m/s})\sin{30}=5\text{ m/s}
Queste due componenti costituiscono la velocità originale.
Traiettorie di base con le equazioni dell'accelerazione costante
La chiave della maggior parte dei problemi che coinvolgono le traiettorie è che il proiettile smette di avanzare quando colpisce il pavimento. Se il proiettile viene sparato da 1 metro in aria, quando l'accelerazione di gravità lo fa scendere di 1 metro, non può viaggiare oltre. Ciò significa che il componente y è la cosa più importante da considerare.
L'equazione per lo spostamento della componente y è:
y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
Il pedice "0" indica la velocità iniziale nella direzione (y), (t) indica il tempo e (g) indica l'accelerazione di gravità, che è 9,8 m/s2. Possiamo semplificarlo se il proiettile viene sparato perfettamente orizzontalmente, quindi non ha una velocità nella direzione (y). Questo lascia:
y=-\frac{1}{2}gt^2
In questa equazione, (y) significa lo spostamento dalla posizione di partenza e vogliamo sapere quanto tempo impiega il proiettile a cadere dalla sua altezza di partenza (h). In altre parole, vogliamo
y=-h=-\frac{1}{2}gt^2
Che riorganizzi per:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}
Questo è il tempo di volo per il proiettile. La sua velocità in avanti determina la distanza percorsa, ed è data da:
x=v_{0x}t
Dove la velocità è la velocità a cui lascia la pistola. Questo ignora gli effetti del trascinamento per semplificare la matematica. Usando l'equazione per (t) trovata un momento fa, la distanza percorsa è:
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Per un proiettile che spara a 400 m/s e viene sparato da 1 metro di altezza, questo dà:
x=(400\text{ m/s})\sqrt{\frac{2(1\text{ m})}{9,8\text{ m/s}^2}}=180,8\text{ m}
Quindi il proiettile percorre circa 181 metri prima di colpire il suolo.
Incorporando il Drag
Per una risposta più realistica, inserisci il trascinamento nelle equazioni sopra. Questo complica un po' le cose, ma puoi calcolarlo abbastanza facilmente se trovi le informazioni richieste sul tuo proiettile e la temperatura e la pressione dove viene sparato. L'equazione per la forza dovuta alla resistenza è:
F_{trascina}=\frac{-C\rho Av^2}{2}
Qui (C) rappresenta il coefficiente di resistenza del proiettile (puoi scoprire per un proiettile specifico o usare C = 0,295 come cifra generale), ρ è la densità dell'aria (circa 1,2 kg/metro cubo a pressione e temperatura normali), (A) è l'area della sezione trasversale di un proiettile (puoi calcolarlo per un proiettile specifico o semplicemente usare A = 4,8 × 10−5 m2, il valore per un calibro .308) e (v) è la velocità del proiettile. Infine, usi la massa del proiettile per trasformare questa forza in un'accelerazione da utilizzare nell'equazione, che può essere presa come m = 0,016 kg a meno che tu non abbia in mente un proiettile specifico.
Questo dà un'espressione più complicata per la distanza percorsa nella direzione (x):
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Questo è complicato perché tecnicamente la resistenza riduce la velocità, che a sua volta riduce la resistenza, ma puoi semplificare le cose semplicemente calcolando la resistenza in base alla velocità iniziale di 400 m/s. Usando un tempo di volo di 0,452 s (come prima), si ottiene:
x=(400\text{ m/s})(0.452\text{ s})-\frac{(0.295)(1.2\text{ kg/m}^3)(4.8\times10^{-5}\text {m}^2)(400\testo{ m/s})^2(0.452\testo{ s})^2}{2(0,016\text{ kg})}\\=180,8\text{ m}-\frac{0,555\text{ kgm}}{0,032\text{ kg}}\\=180,8\ testo{ m}-17.3\testo{ m}\\=163,5\testo{ m}
Quindi l'aggiunta della resistenza cambia la stima di circa 17 metri.