Le equazioni cinematiche descrivono il moto di un oggetto sottoposto ad accelerazione costante. Queste equazioni mettono in relazione le variabili di tempo, posizione, velocità e accelerazione di un oggetto in movimento, consentendo di risolvere una qualsiasi di queste variabili se le altre sono note.
Di seguito è riportata una rappresentazione di un oggetto sottoposto a un movimento di accelerazione costante in una dimensione. La variabile t è per il tempo, la posizione è X, velocità v e accelerazione un. I pedici io e f stanno rispettivamente per "iniziale" e "finale". Si presume che t = 0 a Xio e vio.
(Inserisci immagine 1)
Elenco delle equazioni cinematiche
Ci sono tre equazioni cinematiche primarie elencate di seguito che si applicano quando si lavora in una dimensione. Queste equazioni sono:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Note sulle equazioni cinematiche
- Queste equazioni funzionano solo con un'accelerazione costante (che può essere zero nel caso di velocità costante).
- A seconda della fonte che leggi, le quantità finali potrebbero non avere un pedice f, e/o potrebbe essere rappresentato nella notazione di funzione come x (t) - leggere "X in funzione del tempo” o “X alla volta t" - e v (t). Notare che x (t) non significa X moltiplicato per t!
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A volte la quantità Xf - Xio è scritto
x, che significa "il cambiamento in X”, o anche semplicemente come d, che significa spostamento. Tutti sono equivalenti. Posizione, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali, nel senso che hanno una direzione ad esse associata. In una dimensione, la direzione è tipicamente indicata da segni: le quantità positive sono nella direzione positiva e le quantità negative sono nella direzione negativa. Pedici: "0" potrebbe essere usato per la posizione e la velocità iniziali invece di io. Questo "0" significa "a t = 0," e X0 e v0 sono tipicamente pronunciate "x-naught" e "v-naught". * Solo una delle equazioni non include il tempo. Quando si scrivono i dati e si determina quale equazione utilizzare, questa è la chiave!
Un caso speciale: caduta libera
Il movimento di caduta libera è il movimento di un oggetto che accelera a causa della sola gravità in assenza di resistenza dell'aria. Si applicano le stesse equazioni cinematiche; tuttavia, il valore di accelerazione vicino alla superficie terrestre è noto. L'entità di questa accelerazione è spesso rappresentata da g, dove g = 9,8 m/s2. La direzione di questa accelerazione è verso il basso, verso la superficie terrestre. (Si noti che alcune fonti potrebbero approssimarsi g come 10 m/s2e altri possono utilizzare un valore accurato a più di due cifre decimali.)
Strategia di problem solving per problemi di cinematica in una dimensione:
Disegna un diagramma della situazione e scegli un sistema di coordinate appropriato. (Richiama questo X, v e un sono tutte quantità vettoriali, quindi assegnando una chiara direzione positiva, sarà più facile tenere traccia dei segni.)
Scrivi un elenco di quantità note. (Attenzione che a volte le cose conosciute non sono ovvie. Cerca frasi come "inizia da riposo", che significa che vio = 0, o "colpisce il suolo", nel senso che Xf = 0, e così via.)
Determina quale quantità la domanda vuole che tu trovi. Qual è l'incognita che risolverai?
Scegli l'equazione cinematica appropriata. Questa sarà l'equazione che contiene la tua quantità sconosciuta insieme alle quantità note.
Risolvi l'equazione per la quantità sconosciuta, quindi inserisci i valori noti e calcola la risposta finale. (Attenzione alle unità! A volte sarà necessario convertire le unità prima del calcolo.)
Esempi di cinematica unidimensionale
Esempio 1: Una pubblicità afferma che un'auto sportiva può andare da 0 a 60 mph in 2,7 secondi. Qual è l'accelerazione di questa macchina in m/s2? Quanto lontano viaggia durante questi 2,7 secondi?
Soluzione:
(Inserisci immagine 2)
Grandezze note e incognite:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
La prima parte della domanda richiede di risolvere per l'accelerazione sconosciuta. Qui possiamo usare l'equazione n. 1:
v_f=v_i+at\imlies a =\frac {(v_f-v_i)} t
Prima di inserire i numeri, tuttavia, dobbiamo convertire 60 mph in m/s:
60\cancel{\text{mph}}\Bigg(\frac {0.477\text{m/s}} {\cancel{\text{mph}}\Bigg)=26,8\text{m/s}
Quindi l'accelerazione è:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\underline{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
Per trovare quanto lontano va in quel tempo, possiamo usare l'equazione n. 2:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9.93 \times 2.7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
Esempio 2: Una palla viene lanciata a una velocità di 15 m/s da un'altezza di 1,5 m. A che velocità sta andando quando colpisce il suolo? Quanto tempo ci vuole per toccare terra?
Soluzione:
(Inserisci immagine 3 )
Grandezze note e incognite:
x_i=1.5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9,8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
Per risolvere la prima parte, possiamo usare l'equazione n. 3:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\imlies v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
Tutto è già in unità coerenti, quindi possiamo inserire i valori:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9,8)(0-1,5)}=\pm\sqrt{254.4}\circa\pm16\text{ m/s}
Ci sono due soluzioni qui. Quale è corretto? Dal nostro diagramma, possiamo vedere che la velocità finale dovrebbe essere negativa. Quindi la risposta è:
v_f=\underline{\bold{-16}\text{ m/s}}
Per risolvere il tempo, possiamo usare l'equazione n. 1 o l'equazione n. 2. Poiché l'equazione n. 1 è più semplice con cui lavorare, useremo quella:
v_f=v_i+at\implies t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\approssimativamente \underline{\bold{3.2}\text{ s }}
Nota che la risposta alla prima parte di questa domanda non era 0 m/s. Mentre è vero che dopo che la palla è atterrata, avrà velocità 0, questa domanda vuole sapere quanto velocemente sta andando in quella frazione di secondo prima dell'impatto. Una volta che la palla tocca il terreno, le nostre equazioni cinematiche non si applicano più perché l'accelerazione non sarà costante.
Equazioni cinematiche per il moto del proiettile (due dimensioni)
Un proiettile è un oggetto che si muove in due dimensioni sotto l'influenza della gravità terrestre. Il suo percorso è una parabola perché l'unica accelerazione è dovuta alla gravità. Le equazioni cinematiche per il moto del proiettile assumono una forma leggermente diversa dalle equazioni cinematiche sopra elencate. Usiamo il fatto che i componenti del movimento che sono perpendicolari tra loro, come l'orizzontale X direzione e la verticale sì direzione – sono indipendenti.
Strategia di risoluzione dei problemi per problemi di cinematica del moto dei proiettili:
Disegna un diagramma della situazione. Proprio come con il movimento unidimensionale, è utile disegnare lo scenario e indicare il sistema di coordinate. Invece di usare le etichette X, v e un per posizione, velocità e accelerazione, abbiamo bisogno di un modo per etichettare separatamente il movimento in ciascuna dimensione.
Per la direzione orizzontale, è più comune da usare X per posizione e vX per la componente x della velocità (nota che l'accelerazione è 0 in questa direzione, quindi non abbiamo bisogno di una variabile per essa). sì direzione, è più comune da usare sì per posizione e vsì per la componente y della velocità. L'accelerazione può essere etichettata unsì oppure possiamo usare il fatto che sappiamo che l'accelerazione di gravità è g nella direzione y negativa, e usa quella invece.
Scrivi un elenco di quantità note e incognite suddividendo il problema in due sezioni: movimento verticale e orizzontale. Usa la trigonometria per trovare le componenti x e y di qualsiasi quantità vettoriale che non giacciono lungo un asse. Può essere utile elencarlo in due colonne:
(inserire tabella 1)
Nota: se la velocità è data come un modulo insieme a un angolo, Ѳ, sopra l'orizzontale, quindi utilizzare la scomposizione vettoriale, vX= vcos (Ѳ) e vsì= vsin (Ѳ).
Possiamo considerare le nostre tre equazioni cinematiche di prima e adattarle rispettivamente alle direzioni x e y.
direzione X:
x_f=x_i+v_xt
Direzione Y:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
Si noti che l'accelerazione in sì la direzione è -g se assumiamo che up sia positivo. Un errore comune è che g = -9,8 m/s2, ma questo non è corretto; g di per sé è semplicemente il modulo dell'accelerazione: g = 9,8 m/s2, quindi dobbiamo specificare che l'accelerazione è negativa.
Risolvi per uno sconosciuto in una di quelle dimensioni, quindi collega ciò che è comune in entrambe le direzioni. Mentre il movimento nelle due dimensioni è indipendente, avviene sulla stessa scala temporale, quindi la variabile temporale è la stessa in entrambe le dimensioni. (Il tempo impiegato dalla palla per compiere il suo movimento verticale è uguale al tempo impiegato per compiere il suo movimento orizzontale.)
Esempi di cinematica del moto dei proiettili
Esempio 1: Un proiettile viene lanciato orizzontalmente da una scogliera alta 20 m con una velocità iniziale di 50 m/s. Quanto tempo ci vuole per toccare terra? A che distanza dalla base della scogliera atterra?
(inserire immagine 4)
Grandezze note e incognite:
(inserire tabella 2)
Possiamo trovare il tempo necessario per colpire il suolo usando la seconda equazione del moto verticale:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implies t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
Poi per trovare dove atterra, Xf, possiamo usare l'equazione del moto orizzontale:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\sottolineatura{\grassetto{101}\testo{ s}}
Esempio 2: Una palla viene lanciata a 100 m/s dal suolo con un angolo di 30 gradi con l'orizzontale. Dove atterra? Quando la sua velocità è la più piccola? Qual è la sua posizione in questo momento?
(inserire immagine 5)
Grandezze note e incognite:
Per prima cosa dobbiamo spezzare il vettore velocità in componenti:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\circa 86,6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ testo{ m/s}
La nostra tabella delle quantità è quindi:
(inserire tabella 3)
Per prima cosa dobbiamo trovare il tempo in cui la palla è in volo. Possiamo farlo con la seconda equazione verticale_. Nota che usiamo la simmetria della parabola per determinare che il finale _y la velocità è il negativo dell'iniziale:
Quindi determiniamo di quanto si muove nel X direzione in questo momento:
x_f=x_i+v_xt=86,6\volte 10,2\circa\sottolineatura{\bold{883}\testo m}
Usando la simmetria del percorso parabolico, possiamo determinare che la velocità è più piccola a 5.1 secondi, quando il proiettile è al culmine del suo movimento e la componente verticale della velocità è 0. Le componenti x e y del suo moto in questo momento sono:
x_f=x_i+v_xt=86,6\times 5.1\circa\sottolineatura{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \times 5.1^2\circa \underline{\bold{128}\text{ m}}
Derivazione di equazioni cinematiche
Equazione n. 1: Se l'accelerazione è costante, allora:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Risolvendo per la velocità, abbiamo:
v_f=v_i+at
Equazione n. 2: La velocità media può essere scritta in due modi:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Se sostituiamo _vf _con l'espressione dell'equazione n. 1, otteniamo:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Risolvere per Xf dà:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 a^2
Equazione n. 3: Inizia risolvendo per t nell'equazione n. 1
v_f=v_i+at \implies t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
Inserisci questa espressione per t nella relazione di velocità media:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implies \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Riorganizzando questa espressione si ottiene:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)