Terkadang "pertumbuhan eksponensial" hanyalah kiasan, referensi untuk apa pun yang tumbuh secara tidak masuk akal atau sangat cepat. Tetapi dalam kasus-kasus tertentu, Anda dapat mengambil gagasan pertumbuhan eksponensial secara harfiah. Misalnya, populasi kelinci dapat tumbuh secara eksponensial karena setiap generasi berkembang biak, kemudian keturunannya berkembang biak, dan seterusnya. Pendapatan bisnis atau pribadi dapat tumbuh secara eksponensial juga. Saat Anda diminta untuk membuat perhitungan dunia nyata tentang pertumbuhan eksponensial, Anda akan bekerja dengan tiga informasi: Nilai awal, laju pertumbuhan (atau peluruhan), dan waktu.
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Untuk menghitung pertumbuhan eksponensial, gunakan rumus kamu(untuk) = a__ekt, dimana Sebuah adalah nilai di awal, k adalah tingkat pertumbuhan atau pembusukan, untuk adalah waktu dan kamu(untuk) adalah nilai populasi pada waktu untuk.
Bayangkan seorang ilmuwan sedang mempelajari pertumbuhan spesies bakteri baru. Sementara dia bisa memasukkan nilai kuantitas awal, laju pertumbuhan dan waktu ke dalam kalkulator pertumbuhan populasi, dia memutuskan untuk menghitung laju pertumbuhan populasi bakteri secara manual.
Melihat kembali catatan telitinya, ilmuwan melihat bahwa populasi awalnya adalah 50 bakteri. Lima jam kemudian, dia mengukur 550 bakteri.
Memasukkan informasi ilmuwan ke dalam persamaan untuk pertumbuhan atau peluruhan eksponensial, kamu(untuk) = a__ekt, dia punya:
550 = 50_ek_5
Satu-satunya yang tersisa dalam persamaan adalah k, atau laju pertumbuhan eksponensial.
Untuk mulai memecahkan k, pertama bagi kedua ruas persamaan dengan 50. Ini memberi Anda:
550/50 = (50_ek_5)/50, yang disederhanakan menjadi:
11 = e_k_5
Selanjutnya, ambil logaritma natural dari kedua ruas, yang dinotasikan sebagai ln(x). Ini memberi Anda:
ln (11) = ln(e_k_5)
Logaritma natural adalah fungsi invers dari ex, sehingga secara efektif "membatalkan"" ex fungsi di sisi kanan persamaan, meninggalkan Anda dengan:
ln (11) = _k_5
Selanjutnya, bagi kedua sisi dengan 5 untuk mengisolasi variabel, yang memberi Anda:
k = ln (11)/5
Anda sekarang mengetahui laju pertumbuhan eksponensial untuk populasi bakteri ini: k = ln (11)/5. Jika Anda akan melakukan perhitungan lebih lanjut dengan populasi ini – misalnya, memasukkan tingkat pertumbuhan ke dalam persamaan dan memperkirakan ukuran populasi di untuk = 10 jam – sebaiknya tinggalkan jawaban di formulir ini. Tetapi jika Anda tidak melakukan perhitungan lebih lanjut, Anda dapat memasukkan nilai tersebut ke dalam kalkulator fungsi eksponensial – atau kalkulator ilmiah Anda – untuk mendapatkan nilai perkiraan 0,479579. Bergantung pada parameter eksperimen yang tepat, Anda dapat membulatkannya menjadi 0,48/jam untuk memudahkan penghitungan atau notasi.
Tips
Jika tingkat pertumbuhan Anda kurang dari 1, ini memberi tahu Anda bahwa populasi menyusut. Ini dikenal sebagai laju peluruhan atau laju peluruhan eksponensial.