Fungsi matematika adalah alat yang ampuh untuk bisnis, teknik, dan sains karena mereka dapat bertindak sebagai model miniatur dari fenomena dunia nyata. Untuk memahami fungsi dan relasi, Anda perlu sedikit menggali konsep-konsep seperti himpunan, pasangan terurut, dan relasi. Fungsi adalah jenis relasi khusus yang hanya memiliki satukamunilai untuk yang diberikanxnilai. Ada jenis hubungan lain yang terlihat seperti fungsi tetapi tidak memenuhi definisi yang ketat.
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Relasi adalah sekumpulan bilangan yang disusun menjadi pasangan-pasangan. Fungsi adalah jenis relasi khusus yang hanya memiliki satukamunilai untuk yang diberikanxnilai.
Himpunan, Pasangan Terurut, dan Hubungan
Untuk mendeskripsikan relasi dan fungsi, ada baiknya untuk terlebih dahulu membahas himpunan dan pasangan terurut. Secara singkat, satu set angka adalah kumpulan dari mereka, biasanya terkandung dalam kurung kurawal, seperti {15,1, 2/3} atau {0,.22}. Biasanya, Anda mendefinisikan himpunan dengan aturan, seperti semua bilangan genap antara 2 dan 10, termasuk: {2,4,6,8,10}.
Sebuah set bisa memiliki sejumlah elemen, atau tidak ada sama sekali, yaitu set null {}. Pasangan terurut adalah sekelompok dua bilangan yang diapit tanda kurung, seperti (0,1) dan (45, 2). Untuk kenyamanan, Anda dapat memanggil nilai pertama dalam pasangan terurutxnilai, dan yang keduakamunilai. Suatu relasi mengatur pasangan-pasangan terurut menjadi suatu himpunan. Misalnya, himpunan {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} adalah suatu relasi. Anda dapat merencanakanxdankamunilai relasi pada graf dengan menggunakanxdankamusumbu.
Hubungan dan Fungsi
Fungsi adalah suatu relasi di mana setiap diberikanxnilai hanya memiliki satu yang sesuaikamunilai. Anda mungkin berpikir bahwa dengan pasangan yang dipesan, masing-masingxhanya memiliki satukamunilai pula. Namun, dalam contoh relasi yang diberikan di atas, perhatikan bahwaxnilai 1 dan 2 masing-masing memiliki dua yang sesuaikamunilai, 0 dan 5, dan 10 dan 15, masing-masing. Relasi ini bukan fungsi. Aturan tersebut memberikan hubungan fungsi kepastian yang sebaliknya tidak ada, dalam halxnilai-nilai. Anda bisa bertanya, kapanxadalah 1, apa itu?kamunilai? Untuk hubungan di atas, pertanyaannya tidak memiliki jawaban yang pasti; bisa 0, 5 atau keduanya.
Sekarang periksa contoh relasi yang merupakan fungsi sejati: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Ituxnilai tidak diulang di mana pun. Sebagai contoh lain, lihat {( 1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Beberapakamunilai diulang, tetapi ini tidak melanggar aturan. Anda masih bisa mengatakan bahwa ketika nilaixadalah 0,kamupasti 5.
Fungsi Grafik: Uji Garis Vertikal
Anda dapat mengetahui apakah suatu relasi merupakan fungsi dengan memplot angka pada grafik dan menerapkan uji garis vertikal. Jika tidak ada garis vertikal yang melalui grafik yang memotongnya di lebih dari satu titik, relasi tersebut merupakan fungsi.
Fungsi sebagai Persamaan
Menuliskan satu set pasangan berurutan sebagai suatu fungsi merupakan contoh yang mudah, tetapi dengan cepat menjadi membosankan ketika Anda memiliki lebih dari beberapa angka. Untuk mengatasi masalah ini, matematikawan menulis fungsi dalam bentuk persamaan, seperti:
y = x^2 - 2x + 3
Dengan menggunakan persamaan ringkas ini, Anda dapat menghasilkan pasangan terurut sebanyak yang Anda inginkan: Masukkan nilai yang berbeda untukx, lakukan perhitungan, dan keluarlahkamunilai-nilai.
Penggunaan Fungsi di Dunia Nyata
Banyak fungsi berfungsi sebagai model matematika, memungkinkan orang untuk memahami detail fenomena yang jika tidak akan tetap misterius. Untuk mengambil contoh sederhana, persamaan jarak untuk benda jatuh adalah
d = \frac{1}{2} g t^2
dimanauntukadalah waktu dalam detik, dangadalah percepatan gravitasi. Masukkan 9,8 untuk gravitasi bumi dalam meter per detik kuadrat, dan Anda dapat menemukan jarak yang dijatuhkan benda pada nilai waktu berapa pun. Perhatikan bahwa, untuk semua kegunaannya, model memiliki keterbatasan. Persamaan contoh bekerja dengan baik untuk menjatuhkan bola baja tetapi bukan bulu karena udara memperlambat bulu.