Cara Menyelesaikan Persamaan Akar Kuadrat

Akar kuadrat dari suatu angka adalah nilai yang, ketika dikalikan dengan dirinya sendiri, memberikan angka aslinya. Misalnya, akar kuadrat dari 0 adalah 0, akar kuadrat dari 100 adalah 10 dan akar kuadrat dari 50 adalah 7,071. Kadang-kadang, Anda dapat mengetahui, atau sekadar mengingat kembali, akar kuadrat dari suatu bilangan yang merupakan "kuadrat sempurna", yang merupakan hasil perkalian bilangan bulat dengan dirinya sendiri; saat Anda maju melalui studi Anda, Anda cenderung mengembangkan daftar mental dari angka-angka ini (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Masalah yang melibatkan akar kuadrat sangat diperlukan dalam teknik, kalkulus, dan hampir setiap bidang dunia modern. Meskipun Anda dapat dengan mudah menemukan kalkulator persamaan akar kuadrat secara online (lihat Sumberdaya untuk contoh), memecahkan persamaan akar kuadrat adalah hal yang penting keterampilan dalam aljabar, karena memungkinkan Anda untuk terbiasa menggunakan radikal dan bekerja dengan sejumlah jenis masalah di luar bidang akar kuadrat sendiri.

Fakta bahwa mengalikan dua bilangan negatif bersama-sama menghasilkan bilangan positif adalah penting dalam dunia akar kuadrat karena ini menyiratkan bahwa bilangan positif sebenarnya memiliki dua akar kuadrat (misalnya, akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan 4, meskipun hanya yang pertama yang intuitif). Demikian pula, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real, karena tidak ada bilangan real yang bernilai negatif jika dikalikan dengan dirinya sendiri. Dalam presentasi ini, akar kuadrat negatif dari bilangan positif akan diabaikan, sehingga "akar kuadrat dari 361" dapat diambil sebagai "19" daripada " 19 dan 19."

Juga, ketika mencoba memperkirakan nilai akar kuadrat ketika tidak ada kalkulator yang berguna, penting untuk menyadari bahwa fungsi yang melibatkan kuadrat dan akar kuadrat tidak linier. Anda akan melihat lebih banyak tentang ini di bagian tentang grafik nanti, tetapi sebagai contoh kasar, Anda telah mengamati bahwa akar kuadrat dari 100 adalah 10 dan akar kuadrat dari 0 adalah 0. Jika dilihat, ini mungkin membuat Anda menebak bahwa akar kuadrat untuk 50 (yang merupakan setengah antara 0 dan 100) harus 5 (yang merupakan setengah antara 0 dan 10). Tetapi Anda juga telah mempelajari bahwa akar kuadrat dari 50 adalah 7,071.

Akhirnya, Anda mungkin telah menginternalisasi gagasan bahwa mengalikan dua angka bersama-sama menghasilkan angka lebih besar dari dirinya sendiri, menyiratkan bahwa akar kuadrat dari bilangan selalu lebih kecil dari aslinya jumlah. Ini bukan kasusnya! Angka antara 0 dan 1 juga memiliki akar kuadrat, dan dalam setiap kasus, akar kuadrat lebih besar dari angka aslinya. Ini paling mudah ditunjukkan dengan menggunakan pecahan. Misalnya, 16/25, atau 0,64, memiliki kuadrat sempurna baik pembilang maupun penyebutnya. Artinya akar kuadrat dari pecahan adalah akar kuadrat dari komponen atas dan bawahnya, yaitu 4/5. Ini sama dengan 0,80, angka yang lebih besar dari 0,64.

"Akar kuadrat darix" biasanya ditulis menggunakan apa yang disebut tanda radikal, atau hanya radikal (√ ). Jadi untuk apapunx​:

mewakili akar kuadratnya. Membalik ini, kuadrat dari angkaxditulis menggunakan eksponen 2 (x​²). Eksponen mengambil superskrip pada pengolah kata dan aplikasi terkait, dan juga disebut kekuatan. Karena tanda radikal tidak selalu mudah dibuat sesuai permintaan, cara lain untuk menulis "akar kuadrat dari squarex" adalah menggunakan eksponen:

Ini pada gilirannya adalah bagian dari skema umum:

berarti "menaikkan"xuntuk kekuatankamu, lalu ambil 'z' akarnya."x​^1/2 dengan demikian berarti "menaikkanxke kekuatan pertama, yang hanyaxlagi, dan kemudian ambil 2 akarnya, atau akar kuadratnya." Memperpanjang ini,x​^(5/3) berarti "menaikkan"xpangkat 5, lalu temukan akar ketiga (atau akar pangkat tiga) dari hasilnya."

Radikal dapat digunakan untuk mewakili akar selain 2, akar kuadrat. Ini dilakukan hanya dengan menambahkan superskrip ke kiri atas radikal.

kemudian, mewakili nomor yang sama denganx​^(5/3) dari paragraf sebelumnya tidak.

Sebagian besar akar kuadrat adalah bilangan irasional. Ini berarti bahwa tidak hanya bilangan bulat yang tidak bagus dan rapi (mis., 1, 2, 3, 4.. .), tetapi mereka juga tidak dapat dinyatakan sebagai angka desimal rapi yang berakhir tanpa harus dibulatkan. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan. Jadi meskipun 2,75 bukan bilangan bulat, itu adalah bilangan rasional karena sama dengan pecahan 11/4. Anda diberitahu sebelumnya bahwa akar kuadrat dari 50 adalah 7,071, tetapi ini sebenarnya dibulatkan dari jumlah tempat desimal yang tak terbatas. Nilai pasti dari 50 adalah 5√2, dan Anda akan segera melihat bagaimana ini ditentukan.

Anda telah melihat bahwa persamaan yang melibatkan kuadrat dan akar kuadrat adalah nonlinier. Salah satu cara mudah untuk mengingat ini adalah bahwa grafik dari solusi persamaan ini bukan garis. Ini masuk akal, karena jika, seperti dicatat, kuadrat 0 adalah 0 dan kuadrat 10 adalah 100 tetapi kuadratnya the dari 5 bukan 50, grafik yang dihasilkan dari mengkuadratkan angka harus melengkung ke arah yang benar nilai-nilai.

Hal ini terjadi pada grafik

seperti yang Anda lihat sendiri dengan mengunjungi kalkulator di Sumber Daya dan mengubah parameternya. Garis melewati titik (0,0), dan y tidak turun di bawah 0, yang seharusnya Anda harapkan karena Anda tahu bahwax​² tidak pernah negatif. Anda juga dapat melihat bahwa grafiknya simetris di sekitarkamu-sumbu, yang juga masuk akal karena setiap akar kuadrat positif dari angka tertentu disertai dengan akar kuadrat negatif dengan besaran yang sama. Oleh karena itu, dengan pengecualian 0, setiapkamunilai pada grafikkamu​ = ​x​² dikaitkan dengan duax-nilai.

Salah satu cara untuk mengatasi masalah akar kuadrat dasar dengan tangan adalah dengan mencari kuadrat sempurna "tersembunyi" di dalam masalah. Pertama, penting untuk mengetahui beberapa sifat vital kuadrat dan akar kuadrat. Salah satunya adalah, sama sepertix​² sama denganx(karena radikal dan eksponen saling meniadakan):

Artinya, jika Anda memiliki kuadrat sempurna di bawah bilangan radikal yang mengalikan angka lain, Anda dapat "menariknya" dan menggunakannya sebagai koefisien dari apa yang tersisa. Misalnya, kembali ke akar kuadrat dari 50

Kadang-kadang Anda dapat menyelesaikan suatu bilangan yang melibatkan akar kuadrat yang dinyatakan sebagai pecahan, tetapi tetap merupakan bilangan irasional karena penyebut, pembilang, atau keduanya mengandung akar. Dalam kasus seperti itu, Anda mungkin diminta untuk merasionalisasikan penyebutnya. Misalnya nomor

memiliki radikal pada pembilang dan penyebutnya. Tetapi setelah meneliti "45", Anda mungkin mengenalinya sebagai hasil kali 9 dan 5, yang berarti:

Oleh karena itu, pecahan dapat ditulis

Radikal membatalkan satu sama lain, dan Anda memiliki 6/3 = 2.