Akar-akar polinomial juga disebut nol, karena akar-akarnya adalahxnilai di mana fungsi sama dengan nol. Ketika datang untuk benar-benar menemukan akarnya, Anda memiliki banyak teknik yang Anda inginkan; pemfaktoran adalah metode yang paling sering Anda gunakan, meskipun grafik juga dapat berguna.
Berapa Banyak Akar?
Periksa suku derajat tertinggi dari polinomial – yaitu suku dengan eksponen tertinggi. Eksponen itu adalah berapa banyak akar yang akan dimiliki polinomial. Jadi jika eksponen tertinggi dalam polinomial Anda adalah 2, itu akan memiliki dua akar; jika eksponen tertinggi adalah 3, itu akan memiliki tiga akar; dan seterusnya.
Peringatan
-
Ada masalah: Akar polinomial bisa nyata atau imajiner. Akar "Nyata" adalah anggota himpunan yang dikenal sebagai bilangan real, yang pada titik ini dalam karir matematika Anda adalah setiap angka yang biasa Anda tangani. Menguasai angka imajiner adalah topik yang sama sekali berbeda, jadi untuk saat ini, ingat saja tiga hal:
- Akar "imajiner" muncul ketika Anda memiliki akar kuadrat dari angka negatif. Misalnya, (-9).
- Akar imajiner selalu berpasangan.
- Akar polinomial bisa real atau imajiner. Jadi, jika Anda memiliki polinomial derajat ke-5, ia mungkin memiliki lima akar real, mungkin memiliki tiga akar real dan dua akar imajiner, dan seterusnya.
Cari Akar dengan Memfaktorkan: Contoh 1
Cara paling serbaguna untuk menemukan akar adalah memfaktorkan polinomial Anda sebanyak mungkin, dan kemudian menetapkan setiap suku sama dengan nol. Ini jauh lebih masuk akal setelah Anda mengikuti beberapa contoh. Pertimbangkan polinomial sederhanax2 – 4x:
Pemeriksaan singkat menunjukkan bahwa Anda dapat memfaktorkanxdari kedua suku polinomial, yang memberi Anda:
x (x - 4)
Tetapkan setiap istilah ke nol. Itu berarti menyelesaikan dua persamaan:
x = 0
adalah suku pertama yang diset ke nol, dan
x - 4 = 0
adalah suku kedua yang diset ke nol.
Anda sudah memiliki solusi untuk suku pertama. Jikax= 0, maka seluruh ekspresi sama dengan nol. Begitux= 0 adalah salah satu akar, atau nol, dari polinomial.
Sekarang, perhatikan suku kedua dan selesaikan untukx. Jika Anda menambahkan 4 ke kedua sisi, Anda akan memiliki:
x - 4 + 4 = 0 + 4
yang disederhanakan menjadi:
x = 4
Jadi jikax= 4 maka faktor kedua sama dengan nol, yang berarti seluruh polinomial sama dengan nol juga.
Karena polinomial asli adalah derajat kedua (eksponen tertinggi adalah dua), Anda tahu bahwa hanya ada dua akar yang mungkin untuk polinomial ini. Anda sudah menemukan keduanya, jadi yang harus Anda lakukan hanyalah membuat daftarnya:
x = 0, x = 4
Cari Akar dengan Memfaktorkan: Contoh 2
Berikut ini satu lagi contoh bagaimana menemukan akar dengan memfaktorkan, menggunakan beberapa aljabar mewah di sepanjang jalan. Perhatikan polinomialx4 – 16. Pandangan sekilas pada eksponennya menunjukkan kepada Anda bahwa harus ada empat akar untuk polinomial ini; sekarang saatnya untuk menemukan mereka.
Apakah Anda memperhatikan bahwa polinomial ini dapat ditulis ulang sebagai selisih kuadrat? Jadi alih-alihx4 – 16, Anda memiliki:
(x^2)^2 - 4^2
Yang, dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, faktorkan hal-hal berikut:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
Suku pertama, sekali lagi, adalah selisih kuadrat. Jadi, meskipun Anda tidak dapat memfaktorkan suku di sebelah kanan lebih jauh, Anda dapat memfaktorkan suku di sebelah kiri satu langkah lagi:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Sekarang saatnya untuk menemukan nol. Dengan cepat menjadi jelas bahwa jikax= 2, faktor pertama akan sama dengan nol, dan dengan demikian seluruh ekspresi akan sama dengan nol.
Demikian pula, jikax= 2, faktor kedua akan sama dengan nol dan demikian juga seluruh ekspresi.
Begitux= 2 danx= 2 keduanya nol, atau akar, dari polinomial ini.
Tapi bagaimana dengan istilah terakhir itu? Karena memiliki eksponen "2", ia harus memiliki dua akar. Tetapi Anda tidak dapat memfaktorkan ekspresi ini menggunakan bilangan real yang biasa Anda gunakan. Anda harus menggunakan konsep matematika yang sangat canggih yang disebut bilangan imajiner atau, jika Anda mau, bilangan kompleks. Itu jauh di luar cakupan latihan matematika Anda saat ini, jadi untuk saat ini cukup untuk dicatat bahwa Anda memiliki dua akar real (2 dan 2), dan dua akar imajiner yang tidak akan Anda tentukan.
Temukan Akar dengan Grafik
Anda juga dapat menemukan, atau setidaknya memperkirakan, akar dengan membuat grafik. Setiap akar mewakili tempat di mana grafik fungsi memotongxsumbu. Jadi jika Anda membuat grafik garis dan kemudian perhatikanxkoordinat di mana garis melintasixsumbu, Anda dapat memasukkan perkiraanxnilai poin-poin itu ke dalam persamaan Anda dan periksa untuk melihat apakah Anda sudah mendapatkannya dengan benar.
Pertimbangkan contoh pertama yang Anda kerjakan, untuk polinomialx2 – 4x. Jika Anda menggambarnya dengan hati-hati, Anda akan melihat bahwa garis itu melintasixsumbu dix= 0 danx= 4. Jika Anda memasukkan masing-masing nilai ini ke dalam persamaan asli, Anda akan mendapatkan:
0^2 - 4(0) = 0
begitux= 0 adalah nol atau akar yang valid untuk polinomial ini.
4^2 - 4(4) = 0
begitux= 4 juga merupakan nol atau akar yang valid untuk polinomial ini. Dan karena polinomialnya berderajat 2, Anda tahu bahwa Anda dapat berhenti mencari setelah menemukan dua akar.