Memecahkan pertidaksamaan nilai absolut sangat mirip dengan menyelesaikan persamaan nilai absolut, tetapi ada beberapa detail tambahan yang perlu diingat. Akan membantu jika Anda sudah nyaman menyelesaikan persamaan nilai absolut, tetapi tidak apa-apa jika Anda juga mempelajarinya bersama!
Definisi Pertidaksamaan Nilai Absolut
Pertama-tama,pertidaksamaan nilai mutlakadalah pertidaksamaan yang melibatkan ekspresi nilai mutlak. Sebagai contoh,
| 5 + x | - 10 > 6
adalah pertidaksamaan nilai mutlak karena memiliki tanda pertidaksamaan, >, dan ekspresi nilai mutlak, | 5 +x |.
Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Absolut
Itulangkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlakmirip dengan langkah-langkah untuk memecahkan persamaan nilai absolut:
Langkah 1:Pisahkan ekspresi nilai absolut pada satu sisi pertidaksamaan.
Langkah 2:Memecahkan "versi" positif dari ketidaksetaraan.
Langkah 3:Selesaikan "versi" negatif pertidaksamaan dengan mengalikan kuantitas di sisi lain pertidaksamaan dengan 1 dan membalik tanda pertidaksamaan.
Itu banyak yang harus diambil sekaligus, jadi inilah contoh yang akan memandu Anda melalui langkah-langkahnya.
Selesaikan pertidaksamaan untukx:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Untuk melakukan ini, dapatkan | 5 + 5x| dengan sendirinya di sisi kiri pertidaksamaan. Yang harus Anda lakukan adalah menambahkan 3 ke setiap sisi:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Sekarang ada dua "versi" ketidaksetaraan yang perlu kita selesaikan: "versi" positif dan "versi" negatif.
Untuk langkah ini, kita akan berasumsi bahwa segala sesuatunya seperti yang terlihat: bahwa 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
Ini adalah ketidaksetaraan sederhana; Anda hanya perlu menyelesaikannyaxseperti biasa. Kurangi 5 dari kedua sisi, lalu bagi kedua sisi dengan 5.
\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(kurangi lima dari kedua sisi)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(bagi kedua ruas dengan lima)} \\ &x > 0 \end{selaras}
Tidak buruk! Jadi satu solusi yang mungkin untuk ketidaksetaraan kita adalah bahwax> 0. Sekarang, karena ada nilai absolut yang terlibat, saatnya mempertimbangkan kemungkinan lain.
Untuk memahami bagian berikut ini, ada baiknya untuk mengingat apa arti nilai absolut.Nilai mutlakmengukur jarak suatu bilangan dari nol. Jarak selalu positif, jadi 9 berjarak sembilan unit dari nol, tetapi 9 juga sembilan unit dari nol.
Jadi | 9 | = 9, tapi | 9 | = 9 juga.
Sekarang kembali ke masalah di atas. Pekerjaan di atas menunjukkan bahwa | 5 + 5x| > 5; dengan kata lain, nilai absolut dari "sesuatu" lebih besar dari lima. Sekarang, angka positif apa pun yang lebih besar dari lima akan semakin jauh dari nol daripada lima. Jadi opsi pertama adalah "sesuatu," 5 + 5x, lebih besar dari 5.
Itu adalah:
5 + 5x > 5
Itulah skenario yang ditangani di atas, pada Langkah 2.
Sekarang pikirkan sedikit lebih jauh. Apa lagi yang berjarak lima unit dari nol? Nah, negatif lima adalah. Dan apa pun yang lebih jauh di sepanjang garis bilangan dari negatif lima akan semakin jauh dari nol. Jadi "sesuatu" kita bisa menjadi angka negatif yang lebih jauh dari nol daripada negatif lima. Itu berarti itu akan menjadi angka yang terdengar lebih besar, tetapi secara tekniskurang darinegatif lima karena bergerak ke arah negatif pada garis bilangan.
Jadi "sesuatu" kita, 5 + 5x, bisa jadi kurang dari 5.
5 + 5x < -5
Cara cepat untuk melakukannya secara aljabar adalah dengan mengalikan kuantitas di sisi lain dari pertidaksamaan, 5, dengan satu negatif, lalu balikkan tanda pertidaksamaan:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Kemudian selesaikan seperti biasa.
\begin{aligned} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(kurangi 5 dari kedua sisi)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{selaras}
Jadi dua solusi yang mungkin untuk pertidaksamaan adalahx> 0 ataux< −2. Periksa diri Anda dengan memasukkan beberapa solusi yang mungkin untuk memastikan ketidaksetaraan masih berlaku.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Tanpa Solusi
Ada skenario di mana akan adatidak ada solusi untuk pertidaksamaan nilai absolut. Karena nilai absolut selalu positif, mereka tidak boleh sama dengan atau kurang dari angka negatif.
Jadi |x| < 2 memilikitidak ada solusikarena hasil dari ekspresi nilai mutlak harus positif.
Notasi Interval
Untuk menulis solusi untuk contoh utama kami dinotasi interval, pikirkan bagaimana solusi terlihat pada garis bilangan. Solusi kami adalahx> 0 ataux< −2. Pada garis bilangan, itu adalah titik terbuka di 0, dengan garis memanjang hingga tak terhingga positif, dan titik terbuka di 2, dengan garis memanjang hingga tak terhingga negatif. Solusi ini saling menjauh, bukan menuju satu sama lain, jadi ambil masing-masing bagian secara terpisah.
Untuk x > 0 pada garis bilangan, ada titik terbuka di nol dan kemudian garis memanjang hingga tak terhingga. Dalam notasi interval, titik terbuka diilustrasikan dengan tanda kurung, ( ), dan titik tertutup, atau pertidaksamaan dengan atau, akan menggunakan tanda kurung, [ ]. Maka untukx> 0, tulis (0, ).
Setengah lainnya,x< 2, pada garis bilangan ada titik terbuka di 2 dan kemudian panah memanjang sampai ke. Dalam notasi interval, yaitu (−∞, 2).
"Atau" dalam notasi interval adalah tanda serikat, .
Jadi solusi dalam notasi interval adalah
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)