Cara Menemukan Derivatif

Salah satu operasi penting yang Anda lakukan dalam kalkulus adalah menemukan turunan. Turunan suatu fungsi disebut juga laju perubahan fungsi tersebut. Misalnya, jika x (t) adalah posisi mobil pada sembarang waktu t, maka turunan dari x, yang ditulis dx/dt, adalah kecepatan mobil. Juga, turunan dapat divisualisasikan sebagai kemiringan garis yang bersinggungan dengan grafik suatu fungsi. Pada tingkat teoretis, beginilah cara matematikawan menemukan turunan. Dalam praktiknya, matematikawan menggunakan seperangkat aturan dasar dan tabel pencarian.

Kemiringan garis antara dua titik adalah kenaikan, atau selisih nilai y dibagi run, atau selisih nilai x. Kemiringan fungsi y (x) untuk nilai x tertentu didefinisikan sebagai kemiringan garis yang bersinggungan dengan fungsi di titik [x, y (x)]. Untuk menghitung kemiringan, Anda membuat garis antara titik [x, y (x)] dan titik terdekat [x+h, y (x+h)], di mana h adalah bilangan yang sangat kecil. Untuk baris ini, run, atau perubahan nilai x adalah h, dan kenaikan, atau perubahan nilai y, adalah y (x+h) - y (x). Akibatnya, kemiringan y (x) di titik [x, y (x)] kira-kira sama dengan [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + j) - y (x)]/jam. Untuk mendapatkan kemiringan yang tepat, Anda menghitung nilai kemiringan saat h semakin kecil, hingga "batas" di mana ia menuju nol. Kemiringan yang dihitung dengan cara ini adalah turunan dari y (x), yang ditulis sebagai y’(x) atau dy/dx.

Anda dapat menggunakan metode kemiringan/batas untuk menghitung turunan fungsi di mana y sama dengan x pangkat a, atau y (x) = x^a. Misalnya, jika y sama dengan x pangkat tiga, y (x) = x^3, maka dy/dx adalah limit karena h menuju nol dari [(x + h)^3 - x^3]/h. Memperluas (x+h)^3 menghasilkan [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h, yang berkurang menjadi 3x^2 + 3xh^2 + h^2 setelah Anda membagi oleh h. Dalam limit saat h menuju nol, semua suku yang memiliki h di dalamnya juga menjadi nol. Jadi, y’(x) = dy/dx = 3x^2. Anda dapat melakukan ini untuk nilai selain 3, dan secara umum, Anda dapat menunjukkan bahwa d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1).

Banyak fungsi dapat ditulis sebagai apa yang disebut deret pangkat, yang merupakan jumlah dari suku-suku bilangan tak hingga, di mana masing-masing berbentuk C(n) x^n, di mana x adalah variabel, n adalah bilangan bulat dan C(n) adalah bilangan spesifik untuk setiap nilai dari n. Misalnya, deret pangkat untuk fungsi sinus adalah Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +..., di mana “...” berarti suku-suku bersambung ke hingga tak terbatas. Jika Anda mengetahui deret pangkat suatu fungsi, Anda dapat menggunakan turunan dari pangkat x^n untuk menghitung turunan fungsi tersebut. Misalnya, turunan Sin (x) sama dengan 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +..., yang merupakan deret pangkat untuk Cos (x).

Turunan dari fungsi dasar seperti pangkat seperti x^a, fungsi eksponensial, fungsi log dan fungsi trigonometri, ditemukan menggunakan metode kemiringan/batas, metode deret pangkat atau metode lainnya. Derivatif ini kemudian terdaftar dalam tabel. Misalnya, Anda dapat mencari bahwa turunan dari Sin (x) adalah Cos (x). Ketika fungsi kompleks adalah kombinasi dari fungsi dasar, Anda memerlukan aturan khusus seperti aturan rantai dan aturan produk, yang juga diberikan dalam tabel. Misalnya, Anda menggunakan aturan rantai untuk menemukan bahwa turunan dari Sin (x^2) adalah 2xCos (x^2). Anda menggunakan aturan produk untuk menemukan bahwa turunan dari xSin (x) adalah xCos (x) + Sin (x). Menggunakan tabel dan aturan sederhana, Anda dapat menemukan turunan dari fungsi apa pun. Tetapi ketika suatu fungsi sangat kompleks, para ilmuwan terkadang menggunakan program komputer untuk meminta bantuan.