Dalam matematika, terkadang muncul kebutuhan untuk membuktikan apakah fungsi bergantung atau tidak bergantung satu sama lain dalam pengertian linier. Jika Anda memiliki dua fungsi yang bergantung linier, membuat grafik persamaan fungsi tersebut menghasilkan titik-titik yang tumpang tindih. Fungsi dengan persamaan independen tidak tumpang tindih saat dibuat grafik. Salah satu metode untuk menentukan apakah fungsi bergantung atau tidak bergantung adalah dengan menghitung Wronskian untuk fungsi tersebut.
Apa itu Wronskian?
Wronskian dari dua atau lebih fungsi inilah yang dikenal sebagai determinan, yaitu fungsi khusus yang digunakan untuk membandingkan objek matematika dan membuktikan fakta tertentu tentangnya. Dalam kasus Wronskian, determinan digunakan untuk membuktikan ketergantungan atau kemandirian antara dua atau lebih fungsi linier.
Matriks Wronskian
Untuk menghitung Wronskian untuk fungsi linier, fungsi harus diselesaikan untuk nilai yang sama dalam matriks yang berisi fungsi dan turunannya. Contohnya adalah
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
yang menyediakan Wronskian untuk dua fungsi (fdang) yang diselesaikan untuk nilai tunggal yang lebih besar dari nol (untuk); Anda dapat melihat dua fungsif(untuk) dang(untuk) di baris atas matriks, dan turunannyaf'(untuk) dang'(untuk) di baris bawah. Perhatikan bahwa Wronskian dapat digunakan untuk set yang lebih besar juga. Jika misalnya, Anda menguji tiga fungsi dengan Wronskian, maka Anda dapat mengisi matriks dengan fungsi dan turunan darif(untuk), g(untuk) danh(untuk).
Memecahkan Wronskian
Setelah Anda memiliki fungsi yang diatur dalam matriks, kalikan silang setiap fungsi terhadap turunan dari fungsi lainnya dan kurangi nilai pertama dari yang kedua. Untuk contoh di atas, ini memberi Anda
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Jika jawaban akhir sama dengan nol, ini menunjukkan bahwa kedua fungsi tersebut saling bergantung. Jika jawabannya adalah sesuatu selain nol, fungsinya adalah independen.
Contoh Wronskian
Untuk memberi Anda gambaran yang lebih baik tentang cara kerjanya, asumsikan bahwa
f (t) = x + 3 \teks{ dan } g (t) = x - 2
Menggunakan nilaiuntuk= 1, Anda dapat menyelesaikan fungsi sebagai
f (1) = 4 \teks{ dan } g (1) = -1
Karena ini adalah fungsi linier dasar dengan kemiringan 1, turunan dari keduanyaf(untuk) dang(untuk) sama dengan 1. Mengalikan silang nilai Anda memberi ke gives
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
yang memberikan hasil akhir 5. Meskipun fungsi linier keduanya memiliki kemiringan yang sama, mereka independen karena titik-titiknya tidak tumpang tindih. Jikaf(untuk) telah menghasilkan hasil dari 1 bukannya 4, Wronskian akan memberikan hasil nol sebagai gantinya untuk menunjukkan ketergantungan.