Aljabar sering kali melibatkan penyederhanaan ekspresi, tetapi beberapa ekspresi lebih membingungkan untuk ditangani daripada yang lain. Bilangan kompleks melibatkan kuantitas yang dikenal sebagaisaya, angka "imajiner" dengan propertisaya= √−1. Jika Anda hanya perlu ekspresi yang melibatkan bilangan kompleks, itu mungkin tampak menakutkan, tetapi ini adalah proses yang cukup sederhana setelah Anda mempelajari aturan dasarnya.
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Sederhanakan bilangan kompleks dengan mengikuti aturan aljabar dengan bilangan kompleks.
Apa itu Bilangan Kompleks?
Bilangan kompleks ditentukan oleh penyertaansayaistilah, yang merupakan akar kuadrat dari minus satu. Dalam matematika tingkat dasar, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak benar-benar ada, tetapi terkadang muncul dalam masalah aljabar. Bentuk umum bilangan kompleks menunjukkan strukturnya:
z = a + bi
Dimanazlabel bilangan kompleks,Sebuahmewakili angka apa pun (disebut bagian "nyata"), danbmewakili angka lain (disebut bagian "imajiner"), yang keduanya bisa positif atau negatif. Jadi contoh bilangan kompleks adalah:
z = 2 4i
Karena semua akar kuadrat dari bilangan negatif dapat diwakili oleh kelipatansaya, ini adalah bentuk untuk semua bilangan kompleks. Secara teknis, bilangan biasa hanya menggambarkan kasus khusus dari bilangan kompleks di manab= 0, jadi semua bilangan dapat dianggap kompleks.
Aturan Dasar Aljabar dengan Bilangan Kompleks
Untuk menambah dan mengurangi bilangan kompleks, cukup tambahkan atau kurangi bagian real dan imajiner secara terpisah. Jadi untuk bilangan kompleksz = 2 – 4sayadanw = 3 + 5saya, jumlahnya adalah:
\begin{aligned} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + saya \end{selaras}
Pengurangan angka bekerja dengan cara yang sama:
\begin{selaras} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{selaras }
Perkalian adalah operasi sederhana lain dengan bilangan kompleks, karena bekerja seperti perkalian biasa kecuali Anda harus ingat bahwasaya2 = −1. Jadi untuk menghitung 3saya × −4saya:
3i × -4i = -12i^2
Tapi sejaksaya2= 1, maka:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Dengan bilangan kompleks penuh (menggunakanz = 2 – 4sayadanw = 3 + 5sayalagi), Anda mengalikannya dengan cara yang sama seperti yang Anda lakukan dengan angka biasa seperti (Sebuah + b) (c + d), menggunakan metode "pertama, dalam, luar, terakhir" (FOIL), untuk memberikan (Sebuah + b) (c + d) = ac + SM + iklan + bd. Yang harus Anda ingat adalah untuk menyederhanakan setiap contoh darisaya2. Jadi misalnya:
\begin{aligned} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{aligned}
Membagi Bilangan Kompleks
Pembagian bilangan kompleks melibatkan perkalian pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugat kompleks penyebutnya. Konjugat kompleks hanya berarti versi bilangan kompleks dengan bagian imajiner dibalik tandanya. Maka untukz = 2 – 4saya, konjugat kompleksz = 2 + 4saya, dan untukw = 3 + 5saya, w = 3 −5saya. Untuk masalah:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Konjugasi yang dibutuhkan adalahw*. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan ini menjadi:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
Dan kemudian Anda mengerjakannya seperti pada bagian sebelumnya. pembilang memberikan:
\begin{aligned} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{aligned}
Dan penyebutnya memberikan:
\begin{aligned} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{aligned}
Ini berarti:
\begin{aligned} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{aligned}
Menyederhanakan Bilangan Kompleks
Gunakan aturan di atas sesuai kebutuhan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks. Sebagai contoh:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Ini dapat disederhanakan dengan menggunakan aturan penjumlahan di pembilang, aturan perkalian di penyebut, dan kemudian menyelesaikan pembagian. Untuk pembilang:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Untuk penyebutnya:
\begin{selaras} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{selaras}
Menempatkan kembali ini memberikan:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
Mengalikan kedua bagian dengan konjugat penyebut menghasilkan:
\begin{aligned} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{selaras}
Jadi ini berartizmenyederhanakan sebagai berikut:
\begin{aligned} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{selaras}