Semua siswa matematika dan banyak siswa sains menghadapi polinomial pada tahap tertentu selama studi mereka, tetapi untungnya mereka mudah ditangani setelah Anda mempelajari dasar-dasarnya. Operasi utama yang perlu Anda lakukan dengan ekspresi polinomial adalah menambahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi, dan sementara pembagian bisa rumit, sebagian besar waktu Anda akan dapat menangani dasar-dasarnya dengan meredakan.
Polinomial: Definisi dan Contoh
polinomial menggambarkan ekspresi aljabar dengan satu atau lebih istilah yang melibatkan variabel (atau lebih dari satu), dengan eksponen dan mungkin konstanta. Mereka tidak dapat menyertakan pembagian dengan variabel, tidak dapat memiliki eksponen negatif atau pecahan dan harus memiliki jumlah suku yang terbatas.
Contoh ini menunjukkan polinomial:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
Dan ini menunjukkan satu lagi:
xy^2 - 3 x + y
Ada banyak cara untuk mengklasifikasikan polinomial, termasuk berdasarkan derajat (jumlah eksponen pada suku pangkat tertinggi, misalnya 3 dalam contoh pertama) dan jumlah suku yang dikandungnya, seperti monomial (satu suku), binomial (dua suku), dan trinomial (tiga suku istilah).
Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial
Penjumlahan dan pengurangan polinomial bergantung pada penggabungan suku-suku “suka”. Suku sejenis adalah suku dengan variabel dan eksponen yang sama dengan suku lainnya, tetapi angka yang dikalikan (koefisien) bisa berbeda. Sebagai contoh,x2 dan 4x 2 adalah suku-suku sejenis karena memiliki variabel dan eksponen yang sama, dan 2xy 4 dan 6xy 4 seperti istilah juga. Namun,x2, x3, x2kamu2 dankamu2 tidak seperti istilah, karena masing-masing mengandung kombinasi variabel dan eksponen yang berbeda.
Tambahkan polinomial dengan menggabungkan suku-suku serupa dengan cara yang sama seperti yang Anda lakukan dengan suku-suku aljabar lainnya. Misalnya, lihat masalahnya:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
Kumpulkan persyaratan serupa untuk mendapatkan:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
Dan kemudian evaluasi hanya dengan menjumlahkan koefisien dan menggabungkannya menjadi satu suku:
10 x^3 + 5 x + y
Perhatikan bahwa Anda tidak dapat melakukan apa pun dengankamukarena tidak memiliki istilah yang sama.
Pengurangan bekerja dengan cara yang sama:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) - (2 x^4 + 2 y^2 + y)
Pertama, perhatikan bahwa semua suku di kurung tangan kanan dikurangi dari suku-suku di kurung kiri, jadi tulislah sebagai:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y - 2 x^4 - 2 y^2- y
Gabungkan suku-suku sejenis dan evaluasi untuk mendapatkan:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
Untuk masalah seperti ini:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
Perhatikan bahwa tanda minus diterapkan ke seluruh ekspresi di kurung siku, jadi dua tanda negatif sebelum 3x2 menjadi tanda tambahan:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
Kemudian hitung seperti sebelumnya.
Mengalikan Ekspresi Polinomial
Kalikan ekspresi polinomial dengan menggunakan sifat distributif perkalian. Singkatnya, kalikan setiap suku dalam polinomial pertama dengan setiap suku di suku kedua. Lihatlah contoh sederhana ini:
4 x × (2 x^2 + y)
Anda menyelesaikan ini menggunakan properti distributif, jadi:
\begin{selaras} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{selaras}
Atasi masalah yang lebih rumit dengan cara yang sama:
\begin{selaras} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15 x^3 + 6 x^2 \end{selaras}
Masalah-masalah ini bisa menjadi rumit untuk pengelompokan yang lebih besar, tetapi proses dasarnya masih sama.
Membagi Ekspresi Polinomial
Membagi ekspresi polinomial membutuhkan waktu lebih lama tetapi Anda dapat mengatasinya dalam beberapa langkah. Lihatlah ekspresi:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
Pertama, tulis ekspresi seperti pembagian panjang, dengan pembagi di sebelah kiri dan pembagian di sebelah kanan:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
Bagilah suku pertama dalam dividen dengan suku pertama dalam pembagi, dan letakkan hasilnya pada garis di atas pembagian. Pada kasus ini,x2 ÷ x = x, jadi:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{aligned}
Kalikan hasil ini dengan seluruh pembagi, jadi dalam kasus ini, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Letakkan hasil ini di bawah pembagian:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{aligned}
Kurangi hasil pada baris baru dari istilah tepat di atasnya (perhatikan bahwa secara teknis Anda mengubah tanda, jadi jika Anda memiliki hasil negatif, Anda akan menambahkannya), dan letakkan ini pada baris di bawahnya. Pindahkan istilah terakhir dari dividen asli ke bawah juga.
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
Sekarang ulangi proses dengan pembagi dan polinomial baru di garis bawah. Jadi bagilah suku pertama dari pembagi (x) pada bagian pertama dari dividen (−5x) dan letakkan ini di atas:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
Kalikan hasil ini (−5x ÷ x= 5) oleh pembagi asli (jadi (x + 2) × −5 = −5 x10) dan letakkan hasilnya di garis bawah baru:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{selaras}
Kemudian kurangi garis bawah dari yang berikutnya (jadi dalam hal ini ubah tanda dan tambahkan), dan letakkan hasilnya pada garis bawah baru:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{selaras}
Karena sekarang ada deretan nol di bagian bawah, prosesnya selesai. Jika ada istilah bukan nol yang tersisa, Anda akan mengulangi prosesnya lagi. Hasilnya ada di baris teratas, jadi:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
Pembagian ini dan beberapa lainnya dapat diselesaikan dengan lebih sederhana jika Anda bisa faktorkan polinomialnya dalam dividen.