Apa itu Bilangan Nyata?

Bilangan real adalah semua bilangan pada garis bilangan yang terbentang dari tak terhingga negatif hingga nol hingga tak terhingga positif. Konstruksi himpunan bilangan real ini tidak sembarangan melainkan hasil evolusi dari bilangan asli yang digunakan untuk menghitung. Sistem bilangan asli memiliki beberapa inkonsistensi, dan karena perhitungan menjadi lebih kompleks, sistem bilangan diperluas untuk mengatasi keterbatasannya. Dengan bilangan real, perhitungan memberikan hasil yang konsisten, dan ada beberapa pengecualian atau batasan seperti yang ada pada versi sistem bilangan yang lebih primitif.

TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)

Himpunan bilangan real terdiri dari semua bilangan pada garis bilangan. Ini termasuk bilangan asli, bilangan bulat, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irasional. Itu tidak termasuk bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

Penutupan adalah sifat suatu himpunan bilangan yang artinya jika diperbolehkan perhitungan dilakukan pada bilangan-bilangan yang menjadi anggota himpunan tersebut, jawabannya juga akan berupa bilangan-bilangan yang menjadi anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan tertutup.

Bilangan asli adalah bilangan cacah, 1, 2, 3..., dan himpunan bilangan asli tidak tertutup. Karena bilangan asli digunakan dalam perdagangan, dua masalah segera muncul. Sedangkan bilangan asli menghitung benda nyata, misalnya sapi, jika seorang petani memiliki lima ekor sapi dan menjual lima ekor sapi, tidak ada bilangan asli untuk hasilnya. Sistem bilangan awal dengan sangat cepat mengembangkan istilah nol untuk mengatasi masalah ini. Hasilnya adalah sistem bilangan bulat, yang merupakan bilangan asli ditambah nol.

Masalah kedua juga terkait dengan pengurangan. Selama angka menghitung benda nyata seperti sapi, petani tidak bisa menjual sapi lebih banyak dari yang dia miliki. Tetapi ketika angka menjadi abstrak, mengurangkan angka yang lebih besar dari yang lebih kecil memberikan jawaban di luar sistem bilangan bulat. Akibatnya, bilangan bulat, yang merupakan bilangan bulat ditambah bilangan asli negatif diperkenalkan. Sistem bilangan sekarang termasuk garis bilangan lengkap tetapi hanya dengan bilangan bulat.

Perhitungan dalam sistem bilangan tertutup harus memberikan jawaban dari dalam sistem bilangan untuk operasi seperti penjumlahan dan perkalian tetapi juga untuk operasi kebalikannya, pengurangan dan divisi. Sistem bilangan bulat tertutup untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian tetapi tidak untuk pembagian. Jika suatu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat lain, hasilnya tidak selalu bilangan bulat.

Membagi bilangan bulat kecil dengan yang lebih besar menghasilkan pecahan. Pecahan seperti itu ditambahkan ke sistem bilangan sebagai bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan apa pun yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Setiap bilangan desimal sewenang-wenang dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Misalnya 2,864 adalah 2864/1000 dan 0,89632 adalah 89632/100,000. Baris nomor sekarang tampaknya lengkap.

Ada bilangan pada garis bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan bilangan bulat. Salah satunya adalah rasio sisi segitiga siku-siku dengan sisi miring. Jika dua sisi segitiga siku-siku adalah 1 dan 1, sisi miringnya adalah akar kuadrat dari 2. Akar kuadrat dari dua adalah desimal tak terbatas yang tidak berulang. Bilangan seperti itu disebut irasional, dan mereka mencakup semua bilangan real yang tidak rasional. Dengan definisi ini, garis bilangan semua bilangan real lengkap karena bilangan real lain yang tidak rasional termasuk dalam definisi irasional.

Meskipun garis bilangan real dikatakan memanjang dari negatif ke positif tak terhingga, tak hingga itu sendiri tidak a bilangan real melainkan konsep sistem bilangan yang mendefinisikannya sebagai kuantitas yang lebih besar daripada apa pun jumlah. Secara matematis tak terhingga adalah jawaban untuk 1/x saat x mencapai nol, tetapi pembagian dengan nol tidak didefinisikan. Jika infinity adalah angka, itu akan menyebabkan kontradiksi karena infinity tidak mengikuti hukum aritmatika. Misalnya, infinity ditambah 1 masih infinity.

Himpunan bilangan real tertutup untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian kecuali untuk pembagian dengan nol, yang tidak didefinisikan. Set tidak ditutup untuk setidaknya satu operasi lainnya.

Aturan perkalian dalam himpunan bilangan real menentukan bahwa perkalian dari negatif dan a bilangan positif menghasilkan bilangan negatif sedangkan perkalian bilangan positif atau negatif menghasilkan bilangan positif jawaban. Ini berarti bahwa kasus khusus mengalikan suatu bilangan dengan dirinya sendiri menghasilkan bilangan positif untuk bilangan positif dan negatif. Kebalikan dari kasus khusus ini adalah akar kuadrat dari bilangan positif, memberikan jawaban positif dan negatif. Untuk akar kuadrat dari bilangan negatif, tidak ada jawaban dalam himpunan bilangan real.

Konsep himpunan bilangan imajiner membahas masalah akar kuadrat negatif dalam bilangan real. Akar kuadrat dari minus 1 didefinisikan sebagai i dan semua bilangan imajiner adalah kelipatan dari i. Untuk melengkapi teori bilangan, himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai termasuk semua bilangan real dan semua bilangan imajiner. Bilangan real dapat terus divisualisasikan pada garis bilangan horizontal sedangkan bilangan imajiner adalah garis bilangan vertikal, dengan keduanya berpotongan di nol. Bilangan kompleks adalah titik-titik pada bidang dua garis bilangan, masing-masing dengan komponen nyata dan imajiner.