Memecahkan fungsi polinomial adalah keterampilan utama bagi siapa pun yang mempelajari matematika atau fisika, tetapi memahami prosesnya – terutama jika menyangkut fungsi tingkat tinggi – bisa sangat menantang. Fungsi kubik adalah salah satu jenis persamaan polinomial yang paling menantang yang mungkin harus Anda selesaikan dengan tangan. Meskipun mungkin tidak semudah memecahkan persamaan kuadrat, ada beberapa metode Anda dapat menggunakan untuk menemukan solusi persamaan kubik tanpa menggunakan halaman dan halaman detail aljabar.
Apa Itu Fungsi Kubik?
Fungsi kubik adalah polinomial derajat tiga. Fungsi polinomial umum memiliki bentuk:
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
Sini, x adalah variabelnya, tidak adalah sembarang angka (dan derajat polinomial), k adalah konstanta dan huruf lainnya adalah koefisien konstan untuk setiap pangkat x. Jadi fungsi kubik memiliki tidak = 3, dan sederhananya adalah:
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Dimana dalam hal ini, d adalah konstanta. Secara umum, ketika Anda harus menyelesaikan persamaan kubik, Anda akan disajikan dalam bentuk:
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Setiap solusi untuk x disebut "akar" dari persamaan. Persamaan kubik memiliki satu atau tiga akar real, meskipun dapat diulang, tetapi selalu ada setidaknya satu solusi.
Jenis persamaan ditentukan oleh pangkat tertinggi, jadi dalam contoh di atas, itu bukan persamaan kubik jika a = 0, karena pangkat tertingginya adalah bx2 dan itu akan menjadi persamaan kuadrat. Ini berarti berikut ini semua persamaan kubik:
2x^3 + 3x^2 + 6x 9 = 0 \\ x^3 9x + 1 = 0\\ x^3 15x^2 = 0
Menyelesaikan Menggunakan Teorema Faktor dan Pembagian Sintetis
Cara termudah untuk menyelesaikan persamaan kubik melibatkan sedikit tebakan dan jenis proses algoritmik yang disebut pembagian sintetis. Namun, awalnya pada dasarnya sama dengan metode coba-coba untuk solusi persamaan kubik. Cobalah untuk mencari tahu apa salah satu akarnya dengan menebak. Jika Anda memiliki persamaan di mana koefisien pertama, Sebuah, sama dengan 1, maka akan lebih mudah untuk menebak salah satu akarnya, karena mereka selalu merupakan faktor dari suku konstan yang diwakili di atas oleh d.
Jadi, perhatikan persamaan berikut, misalnya:
x^3 5x^2 2x + 24 = 0
Anda harus menebak salah satu nilai untuk x, tapi karena Sebuah = 1 dalam hal ini Anda tahu bahwa berapa pun nilainya, itu harus menjadi faktor 24. Faktor pertama adalah 1, tetapi ini akan meninggalkan:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Yang bukan nol, dan 1 akan keluar:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Yang lagi-lagi bukan nol. Lanjut, x = 2 akan memberikan:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Gagal lagi. Mencoba x = 2 memberikan:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Ini berarti x = 2 adalah akar persamaan kubik. Ini menunjukkan manfaat dan kerugian dari metode coba-coba: Anda bisa mendapatkan jawabannya tanpa banyak pemikiran, tetapi memakan waktu (terutama jika Anda harus pergi ke faktor yang lebih tinggi sebelum menemukan akar). Untungnya, ketika Anda telah menemukan satu akar, Anda dapat menyelesaikan sisa persamaan dengan mudah.
Kuncinya adalah memasukkan teorema faktor. Ini menyatakan bahwa jika x = s adalah solusi, maka (x – s) adalah faktor yang dapat ditarik keluar dari persamaan. Untuk situasi ini, s = 2, dan seterusnya (x + 2) adalah faktor yang dapat kita tarik untuk keluar:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
Suku-suku dalam kelompok kedua kurung memiliki bentuk persamaan kuadrat, jadi jika Anda menemukan nilai yang sesuai untuk Sebuah dan b, persamaan tersebut dapat diselesaikan.
Ini dapat dicapai dengan menggunakan pembagian sintetis. Pertama, tuliskan koefisien persamaan asli di baris atas tabel, dengan garis pemisah dan kemudian akar yang diketahui di sebelah kanan:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
Tinggalkan satu baris cadangan, lalu tambahkan garis horizontal di bawahnya. Pertama, ambil angka pertama (1 dalam hal ini) ke baris di bawah garis horizontal Anda
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array }
Sekarang kalikan angka yang baru saja Anda turunkan dengan akar yang diketahui. Dalam hal ini, 1 × 2 = 2, dan ini ditulis di bawah nomor berikutnya dalam daftar, sebagai berikut:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {Himpunan}
Kemudian tambahkan angka di kolom kedua dan letakkan hasilnya di bawah garis horizontal:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{array}
Sekarang ulangi proses yang baru saja Anda lalui dengan angka baru di bawah garis horizontal: Kalikan dengan root, letakkan jawabannya di ruang kosong di kolom berikutnya, lalu tambahkan kolom untuk mendapatkan nomor baru di baris bawah. Ini meninggalkan:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \akhir{array}
Dan kemudian pergi melalui proses waktu terakhir.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{array}
Fakta bahwa jawaban terakhir adalah nol memberi tahu Anda bahwa Anda memiliki akar yang valid, jadi jika ini bukan nol, maka Anda telah membuat kesalahan di suatu tempat.
Sekarang, baris bawah memberi tahu Anda faktor-faktor dari tiga suku dalam kelompok kurung kedua, sehingga Anda dapat menulis:
(x^2 7x + 12) = 0
Dan sebagainya:
(x+2)(x^2 7x + 12) = 0
Ini adalah tahap solusi yang paling penting, dan Anda dapat menyelesaikan dari titik ini dan seterusnya dengan banyak cara.
Memfaktorkan Polinomial Kubik
Setelah Anda menghapus faktor, Anda dapat menemukan solusi menggunakan faktorisasi. Dari langkah di atas, ini pada dasarnya adalah masalah yang sama dengan memfaktorkan persamaan kuadrat, yang dapat menjadi tantangan dalam beberapa kasus. Namun, untuk ekspresi:
(x^2 7x + 12)
Jika Anda ingat bahwa dua angka yang Anda masukkan ke dalam tanda kurung perlu dijumlahkan untuk menghasilkan koefisien kedua (7) dan dikalikan dengan yang ketiga (12), cukup mudah untuk melihat bahwa dalam kasus ini:
(x^2 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Anda dapat melipatgandakan ini untuk memeriksa, jika Anda mau. Jangan berkecil hati jika Anda tidak dapat melihat faktorisasi secara langsung; memang butuh sedikit latihan. Ini meninggalkan persamaan asli sebagai:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Yang dapat langsung Anda lihat memiliki solusi di x = 2, 3 dan 4 (semuanya merupakan faktor dari 24, konstanta asal). Secara teori, mungkin juga untuk melihat seluruh faktorisasi mulai dari versi asli persamaan, tetapi ini jauh lebih menantang, jadi lebih baik mencari satu solusi dari coba-coba dan gunakan pendekatan di atas sebelum mencoba menemukan a faktorisasi.
Jika Anda kesulitan melihat faktorisasi, Anda dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\above{1pt}2a}
Untuk menemukan solusi yang tersisa.
Menggunakan Rumus Kubik
Meskipun jauh lebih besar dan tidak mudah untuk ditangani, ada pemecah persamaan kubik sederhana dalam bentuk rumus kubik. Ini seperti rumus persamaan kuadrat di mana Anda hanya memasukkan nilai Sebuah, b, c dan d untuk mendapatkan solusi, tetapi hanya lebih lama.
Ini menyatakan bahwa:
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
dimana
p = {−b \atas{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \above{1pt}6a^2}
dan
r = {c \di atas{1pt}3a}
Menggunakan rumus ini memakan waktu, tetapi jika Anda tidak ingin menggunakan metode coba-coba untuk solusi persamaan kubik dan kemudian rumus kuadrat, ini akan berhasil saat Anda menyelesaikan semuanya.