Cara terbaik untuk memfaktorkan polinomial dengan pecahan dimulai dengan mereduksi pecahan menjadi suku yang lebih sederhana. Polinomial mewakili ekspresi aljabar dengan dua atau lebih istilah, lebih khusus, jumlah beberapa istilah yang memiliki ekspresi berbeda dari variabel yang sama. Strategi yang membantu menyederhanakan polinomial melibatkan pemfaktoran faktor persekutuan terbesar, diikuti dengan mengelompokkan persamaan ke dalam suku-suku terendahnya. Hal yang sama berlaku bahkan ketika memecahkan polinomial dengan pecahan.
Polinomial dengan Pecahan Didefinisikan
Anda memiliki tiga cara untuk melihat polinomial frase dengan pecahan. Interpretasi pertama membahas polinomial dengan pecahan untuk koefisien. Dalam aljabar, koefisien didefinisikan sebagai jumlah kuantitas atau konstanta yang ditemukan sebelum variabel. Dengan kata lain, koefisien untuk 7_a_, b dan (1/3)c berturut-turut adalah 7, 1 dan (1/3). Oleh karena itu, dua contoh polinomial dengan koefisien pecahan adalah:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ dan } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
Interpretasi kedua dari "polinomial dengan pecahan" mengacu pada polinomial yang ada dalam pecahan atau rasio bentuk dengan pembilang dan penyebut, di mana polinomial pembilang dibagi dengan penyebut polinomial. Misalnya, interpretasi kedua ini diilustrasikan oleh:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
Interpretasi ketiga, sementara itu, berkaitan dengan dekomposisi fraksi parsial, juga dikenal sebagai ekspansi fraksi parsial. Terkadang pecahan polinomial itu kompleks sehingga ketika “diuraikan” atau “dipecah” menjadi istilah yang lebih sederhana, mereka disajikan sebagai jumlah, perbedaan, produk, atau hasil bagi polinomial pecahan. Untuk mengilustrasikan, fraksi polinomial kompleks dari:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
dievaluasi melalui dekomposisi pecahan parsial, yang, kebetulan, melibatkan pemfaktoran polinomial, menjadi, dalam bentuk paling sederhana:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Dasar-dasar Anjak Piutang – Sifat Distributif dan Metode FOIL
Faktor mewakili dua angka yang jika dikalikan sama dengan angka ketiga. Dalam persamaan aljabar, pemfaktoran menentukan dua kuantitas apa yang dikalikan bersama untuk sampai pada polinomial tertentu. Sifat distributif banyak diikuti ketika mengalikan polinomial. Sifat distributif pada dasarnya memungkinkan seseorang untuk mengalikan jumlah dengan mengalikan setiap angka secara individual sebelum menambahkan produk. Perhatikan, misalnya, bagaimana sifat distributif diterapkan dalam contoh:
7(10x + 5) \text{ untuk sampai pada binomial } 70x + 35.
Tetapi, jika dua binomial dikalikan bersama, maka versi yang diperluas dari sifat distributif digunakan melalui metode FOIL. FOIL merupakan singkatan dari First, Outer, Inner, dan Last term dikalikan. Oleh karena itu, memfaktorkan polinomial memerlukan pelaksanaan metode FOIL secara terbalik. Ambil dua contoh di atas dengan polinomial yang mengandung koefisien pecahan. Melakukan metode FOIL secara terbalik pada masing-masing menghasilkan faktor-faktor
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
untuk polinomial pertama, dan faktor-faktor dari
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
untuk polinomial kedua.
Contoh:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Contoh:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\besar)
Langkah-Langkah yang Harus Dilakukan Saat Memfaktorkan Pecahan Polinomial
Dari atas, pecahan polinomial melibatkan polinomial di pembilang dibagi dengan polinomial di penyebut. Mengevaluasi pecahan polinomial sehingga memerlukan pemfaktoran polinomial pembilang terlebih dahulu diikuti dengan pemfaktoran polinomial penyebut. Ini membantu untuk menemukan faktor persekutuan terbesar, atau FPB, antara pembilang dan penyebut. Setelah FPB dari pembilang dan penyebut ditemukan, itu dibatalkan, akhirnya mengurangi seluruh persamaan menjadi istilah yang disederhanakan. Perhatikan contoh pecahan polinomial asli di atas dari
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
Memfaktorkan polinomial pembilang dan penyebut untuk mencari FPB menghasilkan:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
dengan GCF menjadi (x + 2).
FPB pada pembilang dan penyebut saling meniadakan untuk memberikan jawaban akhir dalam suku terendah dari (x + 5) ÷ (x + 9).
Contoh:
\begin{aligned} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{selaras}
Mengevaluasi Persamaan melalui Dekomposisi Pecahan Parsial
Dekomposisi pecahan parsial, yang melibatkan pemfaktoran, adalah cara untuk menulis ulang persamaan pecahan polinomial kompleks ke dalam bentuk yang lebih sederhana. Meninjau kembali contoh dari atas
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Sederhanakan Penyebutnya
Sederhanakan penyebutnya menjadi:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
Atur ulang Numerator
Selanjutnya, atur ulang pembilangnya sehingga GCF mulai ada di penyebutnya, untuk mendapatkan:
\begin{aligned} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{aligned}
Untuk addend kiri, FPB adalah (x - 1), sedangkan untuk addend kanan, FPBnya adalah (x + 2), yang membatalkan pembilang dan penyebut, seperti yang terlihat pada:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\cancel{(x - 1)}}{(x + 2)\batal{(x - 1)}} + \frac{5\batal{(x + 2)}}{\batal{(x + 2)}(x - 1) }
Jadi, ketika GCF dibatalkan, jawaban akhir yang disederhanakan adalah:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
sebagai solusi dari dekomposisi fraksi parsial.