Dalam matematika, kebalikan dari suatu bilangan adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan aslinya akan menghasilkan 1. Misalnya, kebalikan dari variabel x adalah 1/x, karena
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
Dalam contoh ini, 1/xadalah identitas timbal balik darix, dan sebaliknya. Dalam trigonometri, salah satu sudut non-90 derajat dalam segitiga siku-siku dapat ditentukan oleh rasio yang disebut sinus, kosinus, dan tangen. Menerapkan konsep identitas timbal balik, matematikawan mendefinisikan tiga rasio lagi. Nama mereka adalah cosecan, secan, dan kotangen. Cosecan adalah identitas kebalikan dari sinus, secan dari cosinus dan kotangen adalah tangen.
Cara Menentukan Identitas Timbal Balik
Pertimbangkan sudutθ, yang merupakan salah satu dari dua sudut non-90 derajat dalam segitiga siku-siku. Jika panjang sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut tersebut adalah "b," panjang sisi yang berdekatan dengan sudut dan di hadapan sisi miring adalah "Sebuah" dan panjang sisi miringnya adalah "r, " kita dapat mendefinisikan tiga rasio trigonometri utama dalam hal panjang ini.
\text{sinus } = \sin = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosinus }θ = \cos = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{tangen }θ = \tan = \frac{b}{a} \\
Identitas timbal balik dari dosaθharus sama dengan 1/sin, karena itulah bilangan yang jika dikalikan dengan sinθ, menghasilkan 1. Hal yang sama berlaku untuk cosθdan tanθ. Matematikawan memberi nama-nama resiprokal ini masing-masing cosecan, secant dan cotangent. Menurut definisi:
\text{cosecant }θ = \csc = \frac{1}{\sin } \\ \,\\ \text{secant }θ = \sec = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{cotangent }θ = \cot = \frac{1}{\tan }
Anda dapat mendefinisikan identitas timbal balik ini dalam hal panjang sisi segitiga siku-siku sebagai berikut:
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot = \frac{a}{b}
Hubungan berikut berlaku untuk sembarang sudut:θ:
\sin × \csc = 1 \\ \cos × \sec = 1 \\ \tan × \cot = 1
Dua Identitas Trigonometri Lainnya
Jika Anda mengetahui sinus dan cosinus suatu sudut, Anda dapat menurunkan garis singgungnya. Ini benar karena
\sin = \frac{b}{r} \text{ and } \cos = \frac{a}{r} \text{, jadi } \frac{\sin }{\cos } = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
Karena ini adalah definisi dari tan, identitas berikut, yang dikenal sebagai identitas hasil bagi, adalah sebagai berikut:
\frac{\sin }{\cos } = \tan \\ \,\\ \frac{\cos θ}{\sin } = \cot
Identitas Pythagoras mengikuti dari fakta bahwa, untuk setiap segitiga siku-siku dengan sisiSebuahdanbdan hipotenusar, berikut ini benar:Sebuah2 + b2 = r2. Mengatur ulang istilah dan mendefinisikan rasio dalam hal sinus dan cosinus, Anda sampai pada ekspresi berikut:
\sin^2 + \cos^2 = 1
Dua hubungan penting lainnya mengikuti ketika Anda memasukkan identitas timbal balik untuk sinus dan kosinus dalam ekspresi di atas:
\tan^2 + 1 = \sec^2 \\ \cot^2 + 1 = \csc^2