Sama seperti dalam aljabar, ketika Anda mulai belajar trigonometri, Anda akan mengumpulkan kumpulan rumus yang berguna untuk pemecahan masalah. Satu set tersebut adalah identitas setengah sudut, yang dapat Anda gunakan untuk dua tujuan. Salah satunya adalah mengubah fungsi trigonometri dari (θ/ 2) menjadi fungsi dalam hal yang lebih akrab (dan lebih mudah dimanipulasi)θ. Yang lain adalah untuk menemukan nilai sebenarnya dari fungsi trigonometriθ, kapanθdapat dinyatakan sebagai setengah dari sudut yang lebih akrab.
Meninjau Identitas Setengah Sudut
Banyak buku teks matematika akan mencantumkan empat identitas setengah sudut utama. Tetapi dengan menerapkan campuran aljabar dan trigonometri, persamaan ini dapat diurutkan menjadi beberapa bentuk yang berguna. Anda tidak harus menghafal semua ini (kecuali jika guru Anda bersikeras), tetapi Anda setidaknya harus memahami cara menggunakannya:
Identitas Setengah Sudut untuk Sinus
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Identitas Setengah Sudut untuk Cosinus
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Identitas Setengah Sudut untuk Tangen
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ }{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cotθ
Identitas Setengah Sudut untuk Kotangen
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ }{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cotθ
Contoh Penggunaan Identitas Setengah Sudut
Jadi bagaimana Anda menggunakan identitas setengah sudut? Langkah pertama adalah mengenali bahwa Anda berurusan dengan sudut yang setengah dari sudut yang lebih dikenal.
- Kuadran I: semua fungsi trigonometri
- Kuadran II: hanya sinus dan cosecan
- Kuadran III: hanya tangen dan kotangen
- Kuadran IV: hanya cosinus dan secan
bayangkan Anda diminta untuk menemukan sinus sudut 15 derajat. Ini bukan salah satu sudut yang kebanyakan siswa akan hafal nilai-nilai fungsi trigonometri. Tetapi jika Anda membiarkan 15 derajat sama dengan /2 dan kemudian menyelesaikan, Anda akan menemukan bahwa:
\frac{θ}{2} = 15 \\ = 30
Karena yang dihasilkan, 30 derajat, adalah sudut yang lebih dikenal, menggunakan rumus setengah sudut di sini akan sangat membantu.
Karena Anda telah diminta untuk menemukan sinus, hanya ada satu rumus setengah sudut yang dapat dipilih:
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Mengganti dalamθ/2 = 15 derajat danθ= 30 derajat memberi Anda:
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Jika Anda diminta untuk menemukan tangen atau kotangen, keduanya mengalikan setengah cara untuk mengekspresikan identitas setengah sudutnya, Anda cukup memilih versi yang terlihat paling mudah untuk digunakan.
Tanda ± di awal beberapa identitas setengah sudut berarti bahwa akar yang dimaksud bisa positif atau negatif. Anda dapat mengatasi ambiguitas ini dengan menggunakan pengetahuan Anda tentang fungsi trigonometri di kuadran. Berikut rekap cepat fungsi trigonometri yang kembalipositifnilai di mana kuadran:
Karena dalam hal ini sudut Anda your mewakili 30 derajat, yang termasuk dalam Kuadran I, Anda tahu bahwa nilai sinus yang dikembalikannya akan positif. Jadi, Anda dapat menghapus tanda ± dan cukup mengevaluasi:
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Substitusi ke nilai cos yang sudah dikenal dan diketahui (30). Dalam hal ini, gunakan nilai yang tepat (sebagai lawan dari perkiraan desimal dari bagan):
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Selanjutnya, sederhanakan ruas kanan persamaan Anda untuk mencari nilai sin (15). Mulailah dengan mengalikan ekspresi di bawah akar dengan 2/2, yang memberi Anda:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Ini disederhanakan menjadi:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Anda kemudian dapat memfaktorkan akar kuadrat dari 4:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
Dalam kebanyakan kasus, ini sejauh yang Anda sederhanakan. Meskipun hasilnya mungkin tidak terlalu bagus, Anda telah menerjemahkan sinus dari sudut yang tidak dikenal ke dalam jumlah yang tepat.