Dalam matematika, contoh tandingan digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan. Jika Anda ingin membuktikan bahwa suatu pernyataan itu benar, Anda harus menulis bukti untuk menunjukkan bahwa itu selalu benar; memberikan contoh saja tidak cukup. Dibandingkan dengan menulis bukti, menulis contoh tandingan jauh lebih sederhana; jika Anda ingin menunjukkan bahwa suatu pernyataan tidak benar, Anda hanya perlu memberikan satu contoh skenario di mana pernyataan tersebut salah. Kebanyakan contoh tandingan dalam aljabar melibatkan manipulasi numerik.
Dua Kelas Matematika
Bukti-menulis dan menemukan contoh tandingan adalah dua kelas utama matematika. Sebagian besar matematikawan fokus pada penulisan bukti untuk mengembangkan teorema dan sifat baru. Ketika pernyataan atau dugaan tidak dapat dibuktikan benar, matematikawan menyangkalnya dengan memberikan contoh tandingan.
Contoh Kontra Adalah Beton
Alih-alih menggunakan variabel dan notasi abstrak, Anda dapat menggunakan contoh numerik untuk menyangkal argumen. Dalam aljabar, sebagian besar contoh tandingan melibatkan manipulasi menggunakan bilangan positif dan negatif atau ganjil dan genap yang berbeda, kasus ekstrem, dan bilangan khusus seperti 0 dan 1.
Satu Contoh Kontra Sudah Cukup
Filosofi dari contoh tandingan adalah bahwa jika dalam satu skenario pernyataan itu tidak benar, maka pernyataan itu salah. Contoh non-matematika adalah "Tom tidak pernah berbohong." Untuk menunjukkan bahwa pernyataan ini benar, Anda harus memberikan "bukti" bahwa Tom tidak pernah berbohong dengan melacak setiap pernyataan yang pernah dibuat Tom. Namun, untuk membantah pernyataan ini, Anda hanya perlu menunjukkan satu kebohongan yang pernah diucapkan Tom.
Contoh Kontra Terkenal
"Semua bilangan prima ganjil." Meskipun hampir semua bilangan prima, termasuk semua bilangan prima di atas 3, ganjil, "2" adalah bilangan prima yang genap; pernyataan ini salah; "2" adalah contoh tandingan yang relevan.
"Pengurangan adalah komutatif." Penjumlahan dan perkalian keduanya komutatif -- keduanya dapat dilakukan dalam urutan apa pun. Yaitu, untuk sembarang bilangan real a dan b, a + b= b + a dan a * b = b * a. Namun, pengurangan tidak komutatif; contoh tandingan yang membuktikan ini adalah: 3 - 5 tidak sama dengan 5 - 3.
"Setiap fungsi kontinu dapat diturunkan." Fungsi mutlak |x| kontinu untuk semua bilangan positif dan negatif; tetapi tidak terdiferensiasi pada x = 0; sejak |x| adalah fungsi kontinu, contoh tandingan ini membuktikan bahwa tidak setiap fungsi kontinu dapat diturunkan.