Persamaan kinematika menggambarkan gerak suatu benda yang mengalami percepatan konstan. Persamaan-persamaan ini menghubungkan variabel waktu, posisi, kecepatan, dan percepatan dari suatu objek yang bergerak, memungkinkan salah satu dari variabel-variabel ini diselesaikan jika variabel lainnya diketahui.
Di bawah ini adalah penggambaran suatu benda yang mengalami gerak percepatan konstan dalam satu dimensi. Variabel untuk adalah untuk waktu, posisinya adalah x, kecepatan v dan percepatan Sebuah. Subskrip saya dan f berdiri untuk "awal" dan "akhir" masing-masing. Ini diasumsikan bahwa untuk = 0 at xsaya dan vsaya.
(Sisipkan gambar 1)
Daftar Persamaan Kinematika
Ada tiga persamaan kinematik utama yang tercantum di bawah ini yang berlaku ketika bekerja dalam satu dimensi. Persamaan tersebut adalah:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Catatan Tentang Persamaan Kinematika
- Persamaan ini hanya bekerja dengan percepatan konstan (yang mungkin nol dalam kasus kecepatan konstan).
- Bergantung pada sumber mana yang Anda baca, jumlah akhir mungkin tidak memiliki subskrip f, dan/atau dapat direpresentasikan dalam notasi fungsi sebagai x (t) - Baca "x sebagai fungsi waktu” atau “x pada waktu untuk” – dan v (t). Perhatikan bahwa x (t) Tidak berarti x dikalikan dengan untuk!
-
Terkadang kuantitas xf - xsaya ditulis
x, yang berarti “perubahan dalam” x,” atau bahkan hanya sebagai d, yang berarti perpindahan. Semua setara. Posisi, kecepatan, dan percepatan adalah besaran vektor, artinya memiliki arah yang terkait dengannya. Dalam satu dimensi, arah biasanya ditunjukkan dengan tanda – besaran positif dalam arah positif dan besaran negatif dalam arah negatif. Subskrip: "0" mungkin digunakan untuk posisi awal dan kecepatan alih-alih saya. "0" ini berarti "at untuk = 0," dan x0 dan v0 biasanya diucapkan "x-naught" dan "v-naught." * Hanya satu persamaan yang tidak menyertakan waktu. Saat menulis pemberian dan menentukan persamaan apa yang akan digunakan, ini adalah kuncinya!
Kasus Khusus: Jatuh Bebas
Gerak jatuh bebas adalah gerak suatu benda yang dipercepat karena gravitasi saja tanpa adanya hambatan udara. Persamaan kinematik yang sama berlaku; namun, nilai percepatan di dekat permukaan bumi diketahui. Besarnya percepatan ini sering diwakili oleh g, di mana g = 9,8 m/s2. Arah percepatan ini adalah ke bawah, menuju permukaan bumi. (Perhatikan bahwa beberapa sumber mungkin mendekati g sebagai 10 m/s2, dan orang lain mungkin menggunakan nilai yang akurat hingga lebih dari dua tempat desimal.)
Strategi Pemecahan Masalah untuk Masalah Kinematika dalam Satu Dimensi:
Buat sketsa diagram situasi dan pilih sistem koordinat yang sesuai. (Ingat itu x, v dan Sebuah semua adalah besaran vektor, jadi dengan menetapkan arah positif yang jelas, akan lebih mudah untuk melacak tanda.)
Tulislah daftar besaran yang diketahui. (Hati-hati karena terkadang yang diketahui tidak jelas. Cari frasa seperti “mulai dari istirahat”, yang artinya vsaya = 0, atau “menabrak tanah”, artinya xf = 0, dan seterusnya.)
Tentukan jumlah pertanyaan yang ingin Anda temukan. Apa yang tidak diketahui yang akan Anda pecahkan?
Pilih persamaan kinematik yang sesuai. Ini akan menjadi persamaan yang berisi jumlah yang tidak diketahui bersama dengan jumlah yang diketahui.
Selesaikan persamaan untuk besaran yang tidak diketahui, lalu masukkan nilai yang diketahui dan hitung jawaban akhirnya. (Hati-hati dengan unit! Terkadang Anda perlu mengonversi unit sebelum menghitung.)
Contoh Kinematika Satu Dimensi
Contoh 1: Sebuah iklan mengklaim bahwa mobil sport dapat melaju dari 0 hingga 60 mph dalam 2,7 detik. Berapakah percepatan mobil ini dalam m/s2? Berapa jarak yang ditempuh selama 2,7 detik ini?
Larutan:
(Sisipkan Gambar 2)
Besaran yang diketahui dan tidak diketahui :
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
Bagian pertama dari pertanyaan membutuhkan pemecahan untuk percepatan yang tidak diketahui. Di sini kita dapat menggunakan persamaan #1:
v_f=v_i+at\menyiratkan a =\frac {(v_f-v_i)} t
Namun, sebelum kita memasukkan angka, kita perlu mengonversi 60 mph ke m/s:
60\cancel{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0.477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26.8\text{ m/s}
Maka percepatannya adalah :
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\garis bawah{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
Untuk mencari seberapa jauh jaraknya dalam waktu itu, kita dapat menggunakan persamaan #2:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9,93 \times 2,7^2=\garis bawah{\bold{36,2}\text{ m}}
Contoh 2: Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan 15 m/s dari ketinggian 1,5 m. Berapa kecepatannya saat menyentuh tanah? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyentuh tanah?
Larutan:
(Sisipkan gambar 3)
Besaran yang diketahui dan tidak diketahui :
x_i=1.5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
Untuk menyelesaikan bagian pertama, kita dapat menggunakan persamaan #3:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\menyiratkan v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
Semuanya sudah dalam unit yang konsisten, jadi kita bisa memasukkan nilai:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\approx\pm16\text{ m/s}
Ada dua solusi di sini. Yang mana yang benar? Dari diagram kita, kita dapat melihat bahwa kecepatan akhir harus negatif. Jadi jawabannya adalah:
v_f=\garis bawah{\bold{-16}\text{ m/s}}
Untuk memecahkan waktu, kita dapat menggunakan persamaan #1 atau persamaan #2. Karena persamaan #1 lebih sederhana untuk dikerjakan, kita akan menggunakan persamaan itu:
v_f=v_i+at\implies t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\kira-kira \garis bawah{\bold{3.2}\text{ s }}
Perhatikan bahwa jawaban untuk bagian pertama dari pertanyaan ini bukanlah 0 m/s. Meskipun benar bahwa setelah bola mendarat, ia akan memiliki kecepatan 0, pertanyaan ini ingin mengetahui seberapa cepat bola itu melaju dalam sepersekian detik sebelum tumbukan. Setelah bola melakukan kontak dengan tanah, persamaan kinematik kita tidak lagi berlaku karena percepatan tidak akan konstan.
Persamaan Kinematika untuk Gerak Proyektil (Dua Dimensi)
Proyektil adalah benda yang bergerak dalam dua dimensi di bawah pengaruh gravitasi bumi. Lintasannya adalah parabola karena satu-satunya percepatan adalah gravitasi. Persamaan kinematik untuk gerakan proyektil mengambil bentuk yang sedikit berbeda dari persamaan kinematik yang tercantum di atas. Kami menggunakan fakta bahwa komponen gerak yang saling tegak lurus – seperti horizontal x arah dan vertikal kamu arah – independen.
Strategi Pemecahan Masalah untuk Masalah Kinematika Gerak Proyektil:
Buat sketsa diagram situasi. Seperti halnya dengan gerakan satu dimensi, akan sangat membantu untuk membuat sketsa skenario dan menunjukkan sistem koordinat. Alih-alih menggunakan label x, v dan Sebuah untuk posisi, kecepatan, dan percepatan, kita memerlukan cara untuk memberi label gerak di setiap dimensi secara terpisah.
Untuk arah horizontal, paling umum digunakan x untuk posisi dan vx untuk komponen x kecepatan (perhatikan bahwa percepatan adalah 0 dalam arah ini, jadi kita tidak memerlukan variabel untuk itu.) Dalam kamu arah, paling umum digunakan kamu untuk posisi dan vkamu untuk komponen y kecepatan. Akselerasi dapat diberi label Sebuahkamu atau kita dapat menggunakan fakta bahwa kita mengetahui percepatan gravitasi adalah g dalam arah y negatif, dan gunakan saja itu.
Tulis daftar besaran yang diketahui dan yang tidak diketahui dengan membagi masalah menjadi dua bagian: gerak vertikal dan horizontal. Gunakan trigonometri untuk menemukan komponen x dan y dari setiap besaran vektor yang tidak terletak di sepanjang sumbu. Akan sangat membantu untuk mencantumkan ini dalam dua kolom:
(masukkan tabel 1)
Catatan: Jika kecepatan diberikan sebagai besaran bersama dengan sudut, Ѳ, di atas horizontal, kemudian gunakan dekomposisi vektor, vx= vcos (Ѳ) dan vkamu= vsin (Ѳ).
Kita dapat mempertimbangkan tiga persamaan kinematik kita dari sebelumnya dan mengadaptasinya ke arah x dan y masing-masing.
arah X:
x_f=x_i+v_xt
arah Y:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
Perhatikan bahwa percepatan dalam kamu arahnya adalah -g jika kita asumsikan ke atas adalah positif. Kesalahpahaman yang umum adalah bahwa g = -9,8 m/s2, tapi ini salah; g itu sendiri hanyalah besarnya percepatan: g = 9,8 m/s2, jadi kita perlu menentukan bahwa percepatannya negatif.
Selesaikan satu yang tidak diketahui di salah satu dimensi itu, lalu masukkan apa yang umum di kedua arah. Sedangkan gerak dalam dua dimensi adalah independen, terjadi pada skala waktu yang sama, sehingga variabel waktu adalah sama di kedua dimensi. (Waktu yang dibutuhkan bola untuk melakukan gerakan vertikal sama dengan jumlah waktu yang dibutuhkan bola untuk melakukan gerakan horizontal.)
Contoh Kinematika Gerak Proyektil
Contoh 1: Sebuah peluru ditembakkan secara mendatar dari sebuah tebing setinggi 20 m dengan kecepatan awal 50 m/s. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyentuh tanah? Berapa jauh dari dasar tebing itu mendarat?
(masukkan gambar 4)
Besaran yang diketahui dan tidak diketahui :
(masukkan tabel 2)
Kita dapat mencari waktu yang diperlukan untuk mencapai tanah dengan menggunakan persamaan gerak vertikal kedua:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implies t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\garis bawah{ \bold{2.02}\text{ s} }
Kemudian untuk menemukan di mana ia mendarat, xf, kita dapat menggunakan persamaan gerak horizontal:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\garis bawah{\bold{101}\text{ s}}
Contoh 2: Sebuah bola diluncurkan dengan kecepatan 100 m/s dari permukaan tanah dengan sudut 30 derajat terhadap horizontal. Di mana ia mendarat? Kapan kecepatannya paling kecil? Di mana lokasinya saat ini?
(masukkan gambar 5)
Besaran yang diketahui dan tidak diketahui :
Pertama kita perlu memecah vektor kecepatan menjadi komponen-komponen:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\kira-kira 86,6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ teks{ m/s}
Tabel jumlah kami kemudian:
(masukkan tabel 3)
Pertama kita perlu mencari waktu bola dalam penerbangan. Kita dapat melakukan ini dengan persamaan vertikal kedua_. Perhatikan bahwa kita menggunakan simetri parabola untuk menentukan bahwa _y. akhir kecepatan adalah negatif dari awal:
Kemudian kita tentukan seberapa jauh ia bergerak dalam x arah kali ini:
x_f=x_i+v_xt=86,6\times 10,2\perkiraan\garis bawah{\bold{883}\text m}
Dengan menggunakan simetri lintasan parabola, kita dapat menentukan bahwa kecepatan terkecil di 5,1 detik, ketika proyektil berada pada puncak geraknya dan komponen kecepatan vertikal adalah 0. Komponen x dan y dari geraknya saat ini adalah:
x_f=x_i+v_xt=86,6\times 5.1\approx\garis bawah{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \times 5.1^2\approx \underline{\bold{128}\text{ m}}
Derivasi Persamaan Kinematika
Persamaan #1: Jika percepatan tetap, maka:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Memecahkan kecepatan, kita memiliki:
v_f=v_i+at
Persamaan #2: Kecepatan rata-rata dapat ditulis dalam dua cara:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Jika kita mengganti _vf _dengan ekspresi dari persamaan #1, kita mendapatkan:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Memecahkan untuk xf memberikan:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2
Persamaan #3: Mulailah dengan menyelesaikan untuk untuk dalam persamaan #1
v_f=v_i+at \implies t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
Pasang ekspresi ini untuk untuk dalam hubungan kecepatan rata-rata:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\menyiratkan \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Menata ulang ekspresi ini memberikan:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
