A koncepciósajátértékekhomályos, de nagyon hasznos azoknak a matematikusoknak és fizikusoknak, akik bizonyos érdekes problémákkal szembesülnek.
A sajátérték megértéséhez képzelje el, hogy van funkciója (pl.y = x2 + 6x, vagyy= log 4x), amelyet elvégezhet valamilyen folyamaton, így az eredmény megegyezik az egész függvény állandó értékkel való szorzásával. Egy ilyen funkció minősülnesaját funkció, és az állandó értéke sajátérték lenne.
- Az "Eigen" német az "ugyanaz" kifejezésre.
Ahhoz, hogy a sajátértékeket és a sajátfunkciókat a legjobban megérthesse, és saját maga tudja kiszámolni a sajátértékeket, alapismeretekre van szüksége a mátrixokról. Ezekkel a matematikai trükkökkel határozzuk meg mondjuk a NO kötési sorrendjét2 (nitrogén-dioxid) és más molekulák, mivel az atomokban az elektron viselkedését hullámfüggvények határozzák meg, amelyek saját funkciónak minősülnek.
Mi az a mátrix?
A mátrix sorokba és oszlopokba rendezett számtömb, amely 1-től számozhatn. A mátrixok méreteit soronként adjuk meg; például a következő egy 2x3-as mátrix:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
A mátrixok összeadhatók, ha azonos méretűek (vagyis azonos a sorok száma és az oszlopok száma). Ugyanazon feltételek mellett, lépésenkénti eljárással is megsokszorozhatók. Ezenkívül bármely mátrixot meg lehet szorozni egy vektorral, amely egynvagyn-1-mátrix; ide tartoznak a többi vektorok is.
Mi az a sajátérték-egyenlet?
Mondja, hogy vann-által-nvagy "négyzet" mátrixA, egy nem nullan-1-vektorralv, és egy skalárλ, oly módon, hogy a következő egyenlet teljesüljön:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Bármely értékeλamelyekre ennek az egyenletnek van megoldása, a mátrix sajátértékeként ismerjükA.
Ne hagyja, hogy elméje a fenti kifejezéseket termékként kezelje.Aegyoperátorvagy a vektor lineáris transzformációjav, ez a számítás csak azért lehetségesAésvmindkettőnsorok.
Miért érdemes használni az Eigenvalue függvényeket?
A levezetés bonyolult, de az atomi kémiában a Hamilton-operátort "H-bar" használják a rendszer kinetikai és potenciális energiájának kifejezésére:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Ezt használják aSchrodinger hullámfüggvény egyenletea kvantummechanikában:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
IttEaz egyenletet kielégítő sajátértékeket jelenti.
A mátrix sajátértékeinek megkeresésének módjai
Az Av = λv egyenletből megkapodA v − λv=0. Ez ahhoz vezet:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
Holéna 2-by-2 azonosító mátrix sorokkal [λ0] és [0λ], ami 1-re vezet, ha megszorozzuk a skalárralλ. Ez az eredmény:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Ami havnem nulla, csak akkor van megoldása, ha az abszolút értékeA− λén, vagy |A − λén|, nulla. Ha ezeket kézzel végzi, akkor ez másodfokú egyenlet megoldásával jár és unalmas lehet.
Két mátrix szorzásához a szorzatmátrix egyes pontjaihoz a megfelelő pontokat együtt kell megszorozni és adja hozzá ezt annak a sornak és oszlopnak a maradék sor- és oszlopelemeinek szorzatához, amelyre az új pont utal tartozik.
Két 2x2 mátrix szorzásábanAésBegyütt, ha az első sorAértéke [1 3], és aBértéke [2 5], az új mátrix első oszlopában és sorában a szám [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, és ennek megfelelően a másik három pont esetében.
Számítsa ki a sajátértékeket online
Az Erőforrások között talál egy mátrixszámítási eszközt, amely lehetővé teszi, hogy szinte bármilyen elképzelhető méretű mátrixhoz sajátértékeket és még többet találjon.