Ha ismer két pontot, amelyek egy adott exponenciális görbére esnek, akkor meghatározhatja a görbét azáltal, hogy az általános exponenciális függvényt ezeknek a pontoknak a segítségével oldja meg. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy y és x pontokat helyettesítünk az y = ab egyenletbenx. Az eljárás könnyebb, ha az egyik pont x értéke 0, ami azt jelenti, hogy a pont az y tengelyen van. Ha egyik pontnak sincs nulla x értéke, akkor az x és y megoldásának folyamata kissé bonyolultabb.
Miért fontosak az exponenciális függvények?
Számos fontos rendszer követi a növekedés és a bomlás exponenciális mintáit. Például egy kolóniában található baktériumok száma általában exponenciálisan növekszik, és a nukleáris eseményt követő környezeti sugárzás a légkörben általában exponenciálisan csökken. Az adatok felvételével és a görbe megrajzolásával a tudósok jobb helyzetben vannak előrejelzéseket tenni.
Pontok párjától a grafikonig
A kétdimenziós grafikon bármely pontja két számmal ábrázolható, amelyek általában az in-be vannak írva az (x, y) alak, ahol x meghatározza a vízszintes távolságot az origótól, y pedig a függőlegest távolság. Például a (2, 3) pont két egység az y tengelytől jobbra és három egység az x tengely felett. Másrészt a (-2, -3) pont két egységgel van az y tengelytől balra. és három egységgel az x tengely alatt.
Ha két pontja van, (x1, y1) és (x2, y2), megadhatja az ezeken a pontokon áthaladó exponenciális függvényt az y = ab egyenletbe való behelyettesítésselx és az a és b megoldása. Általában meg kell oldania ezt az egyenletpárt:
y1 = abx1 és y2 = abx2, .
Ebben a formában a matematika kissé bonyolultnak tűnik, de kevésbé tűnik, miután néhány példát megtett.
Egy pont az X tengelyen
Ha az egyik x érték - mondjuk x1 - értéke 0, a művelet nagyon egyszerűvé válik. Például a (0, 2) és (2, 4) pontok egyenletének megoldása:
2 = ab0 és 4 = ab2. Mivel tudjuk, hogy b0 = 1, az első egyenlet 2 = a lesz. Az a helyettesítése a második egyenletben 4 = 2b2, amelyet egyszerűsítünk b-re2 = 2, vagy b = 2 négyzetgyöke, ami körülbelül 1,41. A meghatározó függvény akkor y = 2 (1,41)x.
Az X-tengely egyik pontja sem
Ha egyik x-érték sem nulla, akkor az egyenletpár megoldása kissé körülményesebb. Henochmath végigvezet minket egy egyszerű példán, hogy tisztázza ezt az eljárást. Példájában a pontpárot (2, 3) és (4, 27) választotta. Ez a következő egyenletpárt eredményezi:
27 = ab4
3 = ab2
Ha az első egyenletet elosztja a másodikkal, akkor megkapja
9 = b2
tehát b = 3. Lehetséges, hogy b is egyenlő -3, de ebben az esetben feltételezzük, hogy pozitív.
Bármelyik egyenletben helyettesítheti ezt az értéket b értékkel az a megszerzéséhez. Könnyebb a második egyenlet használata, így:
3 = a (3)2 amely egyszerűsíthető 3 = a9, a = 3/9 vagy 1/3 értékre.
Az ezen pontokon áthaladó egyenlet felírható y = 1/3 (3)x.
Példa a való világból
1910 óta az emberi népesség növekedése exponenciális, és a növekedési görbe megrajzolásával a tudósok jobb helyzetben vannak a jövőt megjósolni és megtervezni. 1910-ben a világ népessége 1,75 milliárd, 2010-ben pedig 6,87 milliárd volt. 1910-et veszünk kiindulópontnak, így megkapjuk a (0, 1,75) és (100, 6,87) pont párokat. Mivel az első pont x-értéke nulla, könnyen megtalálhatjuk a.
1,75 = ab0 vagy a = 1,75. Ha ezt az értéket a második ponttal együtt beillesztjük az általános exponenciális egyenletbe, akkor 6,87 = 1,75b100, amely b értéke a 6.87 / 1.75 vagy a 3.93 századik gyöke. Tehát az egyenlet lesz y = 1,75 (3,93 századik gyöke)x. Noha a diavetítéshez többre van szükség, a tudósok felhasználhatják ezt az egyenletet a jövőbeni népességszámok előrejelzésére, hogy segítsék a jelen politikusait a megfelelő politikák kialakításában.