A binomiális eloszlás egy változót ír le x ha 1) van rögzített szám n a változó megfigyelései; 2) minden megfigyelés független egymástól; 3) a siker valószínűsége o minden megfigyelésnél megegyezik; és 4) mindegyik megfigyelés pontosan két lehetséges eredmény egyikét képviseli (ezért a "binomiális" - gondolom "bináris" szó). Ez az utolsó minősítés különbözteti meg a binomiális eloszlásokat a Poisson-eloszlásoktól, amelyek nem diszkréten, hanem folyamatosan változnak.
Ilyen eloszlás írható B(n, o).
Egy adott megfigyelés valószínűségének kiszámítása
Mondjon értéket k a binomiális eloszlás grafikonja mentén fekszik, amely szimmetrikus az átlagra np. Annak kiszámításához, hogy egy megfigyelésnek meglesz-e ez az értéke, ezt az egyenletet meg kell oldani:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
hol
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
A "!" tényezői funkciót jelöl, például 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Példa
Tegyük fel, hogy egy kosárlabda játékos 24 szabaddobást hajt végre, és a sikerességi mutatója 75 százalék (o = 0.75). Mennyi az esélye, hogy 24 lövéséből pontosan 20-at talál el?
Először számítsa ki (n: k) alábbiak szerint:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Így
P (20) = 10 626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Ennek a játékosnak tehát 13,1 százalék az esélye arra, hogy 24 szabaddobásból pontosan 20-at hajtson végre, összhangban az intuícióval javasol egy olyan játékost, aki 24 szabaddobásból általában 18-at ütne el (75 százalékos sikerrátája miatt).