Az egyik fontos művelet, amelyet a számításban végez, a származékok keresése. A függvény deriváltját a függvény változásának sebességének is nevezzük. Például, ha x (t) az autó helyzete bármikor t, akkor x deriváltja, amelyet dx / dt-nek írunk, az autó sebessége. A derivált a függvény grafikonját érintő egyenes meredekségeként is megjeleníthető. Elméleti szinten a matematikusok így találnak származékokat. A gyakorlatban a matematikusok az alapszabályok és a keresőtáblák készletét használják.
A származék mint lejtő
A két pont közötti vonal meredeksége az y értékek emelkedése vagy különbsége osztva a futással, vagy az x értékek különbsége. Az y (x) függvény meredeksége x bizonyos értéke esetén egy olyan vonal meredeksége, amely érintője a függvénynek az [x, y (x)] pontban. A meredekség kiszámításához egy vonalat kell felépítenie az [x, y (x)] pont és egy közeli pont [x + h, y (x + h)] között, ahol h nagyon kis szám. Ennél a sornál a futás vagy az x érték változása h, az y érték emelkedése vagy változása pedig y (x + h) - y (x). Következésképpen az y (x) meredeksége az [x, y (x)] pontban megközelítőleg megegyezik [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Ahhoz, hogy pontosan megkapja a lejtést, kiszámítja a lejtő értékét, amint h egyre kisebb lesz, a „határig”, ahol nulla lesz. Az így kiszámított meredekség az y (x) deriváltja, amelyet y ’(x) vagy dy / dx formában írunk.
A hatványfüggvény deriváltja
A meredekség / határ metódus segítségével kiszámíthatja azoknak a függvényeknek a deriváltjait, ahol y egyenlő x -szel az a hatványával, vagy y (x) = x ^ a. Például, ha y megegyezik x kockával, akkor y (x) = x ^ 3, akkor dy / dx a határ, mivel h nullára megy [[x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Az (x + h) ^ 3 kibővítésével az [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h értéket kapja, amely 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 értékre csökken. által h. A határértékben, amint h nullára megy, minden olyan kifejezés, amelyben h van, szintén nullára megy. Tehát, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Ezt megteheti más értékeknél, mint 3, és általában megmutathatja, hogy d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Származék egy Power sorozatból
Sok függvény felírható úgynevezett hatványsornak, amelyek egy végtelen számú kifejezés összege, hol mindegyik C (n) x ^ n alakú, ahol x változó, n egész szám és C (n) egy konkrét szám az egyes n. Például a szinuszfüggvény hatványsorozata Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., ahol a „...” azt jelenti, hogy a kifejezés folytatódik a végtelenig. Ha ismeri a függvény hatványsorát, akkor az x ^ n hatvány deriváltjával kiszámíthatja a függvény deriváltját. Például a Sin (x) deriváltja megegyezik 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +... értékkel, ami történetesen a Cos (x) hatványsorozata.
Származékok a táblázatokból
Az olyan alapvető függvények származékai, mint az x ^ a, az exponenciális függvények, a log függvények és a trig függvények, a lejtés / határ metódus, a hatványsorozat vagy más módszerek segítségével találhatók. Ezeket a származékokat ezután táblázatokban soroljuk fel. Például megkeresheti, hogy a Sin (x) származéka Cos (x). Ha az összetett függvények az alapfunkciók kombinációi, akkor speciális szabályokra van szükség, például a láncszabályra és a termékszabályra, amelyeket a táblázatok is megadnak. Például a láncszabály segítségével megállapíthatja, hogy a Sin (x ^ 2) származéka 2xCos (x ^ 2). A termékszabály segítségével megállapíthatja, hogy az xSin (x) deriváltja xCos (x) + Sin (x). Táblázatok és egyszerű szabályok segítségével megtalálhatja bármely függvény deriváltját. De amikor egy funkció rendkívül összetett, a tudósok néha számítógépes programokhoz fordulnak segítségért.