A matematikában néha felmerül annak bizonyítása, hogy a függvények lineáris értelemben függenek-e egymástól vagy függetlenek-e egymástól. Ha két függvénye van, amelyek lineárisan függenek, akkor a függvények egyenleteinek ábrázolása egymással átfedő pontokat eredményez. A független egyenletekkel rendelkező függvények grafikononként nem fedik egymást. Az egyik módszer annak meghatározására, hogy a függvények függenek-e vagy függetlenek, az a függvények Wronskianjának kiszámítása.
Mi az a Wronskian?
Két vagy több függvény wronskianja az úgynevezett determináns, amely egy speciális függvény, amelyet a matematikai objektumok összehasonlítására és bizonyos tények bizonyítására használnak. A Wronskian esetében a determináns a függőség vagy függetlenség igazolására szolgál két vagy több lineáris függvény között.
A Wronskian Matrix
A lineáris függvények Wronskianjának kiszámításához a függvényeket ugyanarra az értékre kell megoldani egy olyan mátrixon belül, amely tartalmazza mind a függvényeket, mind azok származékait. Példa erre
W (f, g) (t) = \ kezdete {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ vége {vmatrix}
amely két funkciót biztosít a Wronskian számára (fésg), amelyek egyetlen, nullánál nagyobb érték esetén vannak megoldva (t); láthatja a két funkciótf(t) ésg(t) a mátrix felső sorában, és a származékokf'(t) ésg'(t) az alsó sorban. Ne feledje, hogy a Wronskian nagyobb készletekhez is használható. Ha például három funkciót tesztel egy Wronskian-nal, akkor feltölthet egy mátrixot af(t), g(t) ésh(t).
A Wronskian megoldása
Miután a függvényeket egy mátrixba rendezte, keresse meg minden függvényt a másik függvény deriváltjával, és vonja le az első értéket a másodikból. A fenti példa esetében ez adja meg
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Ha a végső válasz nulla, akkor ez azt mutatja, hogy a két függvény függ. Ha a válasz nem nulla, akkor a függvények függetlenek.
Wronskian példa
Tegyük fel, hogy jobb képet kap arról, hogyan működik ez
f (t) = x + 3 \ text {és} g (t) = x - 2
Értékének használatat= 1, a függvényeket úgy oldhatja meg
f (1) = 4 \ text {és} g (1) = -1
Mivel ezek alapvető lineáris függvények 1 meredekséggel, mindkettő származékaif(t) ésg(t) egyenlő 1. Értékeinek keresztszorzása ad
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
amely 5-ös végeredményt nyújt. Bár a lineáris függvények meredeksége megegyezik, függetlenek, mert pontjaik nem fedik egymást. Haf(t) 4 helyett −1 eredményt adott, a wronskianus nulla eredményt adott volna a függőség jelzésére.