Minden matematikus hallgató és sok természettudományi hallgató tanulmányaik során találkozik polinomokkal, de szerencsére könnyű kezelni őket, miután megtanulta az alapokat. A polinom kifejezésekkel kapcsolatos fő műveletek az összeadás, kivonás, szorzás és osztás, és bár az osztás bonyolult lehet, legtöbbször képes leszel kezelni az alapokat könnyedség.
Polinomok: Definíció és példák
Polinom olyan algebrai kifejezést ír le, amely egy vagy több változót (vagy egynél többet) magában foglaló kifejezést, kitevőket és esetleg konstansokat tartalmaz. Nem tartalmazhatják a változóval való felosztást, nem lehetnek negatív vagy tört kitevők, és véges számú kifejezéssel kell rendelkezniük.
Ez a példa egy polinomot mutat:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
És ez egy újabbat mutat:
xy ^ 2 - 3 x + y
A polinomok osztályozásának sokféle módja van, ideértve a fokozatot is (a legmagasabb hatványú kitevőinek összege, pl. első példa) és az általuk tartalmazott kifejezések számával, például monomális (egy kifejezés), binomiális (két kifejezés) és trinomális (három kifejezések).
Polinomok összeadása és kivonása
A polinomok összeadása és kivonása a „hasonló” kifejezések kombinálásától függ. A hasonló kifejezés ugyanazokkal a változókkal és kitevőkkel rendelkezik, mint a másik, de az a szám, amellyel megszorozzuk (az együttható), eltérő lehet. Például,x2 és 4x 2 olyanok, mint a kifejezések, mert ugyanaz a változó és a kitevő, és 2xy 4 és 6xy 4 olyanok, mint a kifejezések. Azonban,x2, x3, x2y2 ésy2 nem olyanok, mint a kifejezések, mert mindegyik változó és kitevő különböző kombinációit tartalmazza.
Adjon hozzá polinomokat úgy, hogy a hasonló kifejezéseket ugyanúgy kombinálja, mint más algebrai kifejezésekkel. Nézze meg például a problémát:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Gyűjtse össze a hasonló feltételeket, hogy megkapja:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Ezután értékelje úgy, hogy egyszerűen összeadja az együtthatókat és egyesíti egyetlen kifejezésbe:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Ne feledje, hogy ezzel nem lehet mit kezdeniymert nincs hasonló kifejezése.
A kivonás ugyanúgy működik:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Először is vegye figyelembe, hogy a jobb oldali zárójelben szereplő összes kifejezés kivonásra kerül a bal oldali zárójelben szereplő szavakból, ezért írja be:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombinálja a hasonló kifejezéseket és értékelje a következőket:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Ilyen probléma esetén:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Ne feledje, hogy a mínuszjelet a jobb zárójelben lévő teljes kifejezésre alkalmazzák, tehát a 3 előtti két negatív jelx2 váljon kiegészítõ jellé:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Ezután számítsa ki, mint korábban.
Polinomi kifejezések szorzása
Szorozzuk meg a polinom kifejezéseket a szorzás elosztó tulajdonságának felhasználásával. Röviden: szorozzuk meg az első polinom minden tagját a második tagjával. Nézze meg ezt az egyszerű példát:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Ezt a disztribúciós tulajdonság segítségével oldja meg, így:
\ begin {aligned} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {igazított}
A bonyolultabb problémákat ugyanúgy kezelje:
\ begin {igazítva} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {igazítva}
Ezek a problémák bonyolultabbá válhatnak nagyobb csoportok esetén, de az alapfolyamat továbbra is ugyanaz.
Polinom kifejezések megosztása
A polinom kifejezések felosztása hosszabb időt vesz igénybe, de ezt lépésenként kezelheti. Nézd meg a kifejezést:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Először írja be a kifejezést, mint egy hosszú osztást, úgy, hogy az osztó legyen a bal oldalon, az osztó pedig a jobb oldalon:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Oszd el az osztalék első tagját az osztó első tagjával, és tedd az eredményt az osztás feletti vonalra. Ebben az esetben,x2 ÷ x = x, így:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {aligned}
Szorozzuk meg ezt az eredményt az egész osztóval, tehát ebben az esetben (x + 2) × x = x2 + 2 x. Tegye ezt az eredményt a felosztás alá:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {aligned}
Vonja le az új sor eredményét a közvetlenül felette lévő kifejezések közül (vegye figyelembe, hogy technikailag megváltoztatja a jelet, tehát ha negatív eredménye lenne, inkább adja hozzá), és tegye ezt egy alatta lévő sorra. Vigye az utolsó osztalékot az eredeti osztaléktól lefelé is.
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {aligned}
Most ismételje meg a folyamatot az osztóval és az új polinommal az alsó sorban. Osztd tehát az osztó első tagját (x) az osztalék első futamidejéig (−5x), és tegye ezt fent:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {aligned}
Szorozzuk meg ezt az eredményt (−5x ÷ x= −5) az eredeti osztóval (tehát (x + 2) × −5 = −5 x−10), és tegye az eredményt egy új alsó sorba:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ end {igazítva}
Ezután vonja le az alsó sort a következőtől felfelé (tehát ebben az esetben változtassa meg az előjelet és adjon hozzá), és tegye az eredményt egy új alsó sorba:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {igazítva}
Mivel most egy nullák sora van az alján, a folyamat befejeződött. Ha nem nulla kifejezés maradna, ismételje meg a folyamatot. Az eredmény a legfelső sorban van, tehát:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Ez a felosztás és néhány más egyszerűbben megoldható, ha lehet faktor a polinom az osztalékban.