Amikor először bemutattuk az egyenletrendszereket, valószínűleg grafikusan megtanulta megoldani a kétváltozós egyenletrendszert. Három vagy több változóval rendelkező egyenletek megoldásához azonban új trükkökre van szükség, nevezetesen az elimináció vagy a helyettesítés technikáira.
Válasszon bármelyik egyenletet, és egyesítse őket az egyik változó kizárásával. Ebben a példában az 1. és a 2. egyenlet hozzáadása törli ayváltozó, így a következő új egyenlet marad:
1. új egyenlet:
7x - 2z = 12
Ismételje meg az 1. lépést, ezúttal kombinálva akülönbözőkét egyenlet halmaza, de kiküszöböli azazonosváltozó. Tekintsük a 2. és a 3. egyenletet:
2. egyenlet:
5x - y - 5z = 2
3. egyenlet:
x + 2y - z = 7
Ebben az esetben ayváltozó nem azonnal törli magát. Tehát mielőtt összeadná a két egyenletet, szorozza meg a 2. egyenlet mindkét oldalát 2-vel. Ez megadja:
2. egyenlet (módosítva):
10x - 2y - 10z = 4
3. egyenlet:
x + 2y - z = 7
Most a 2yfeltételek törlik egymást, és újabb új egyenletet kapnak:
Új 2. egyenlet:
11x - 11z = 11
Kombinálja a létrehozott két új egyenletet azzal a céllal, hogy megszüntesse egy másik változót:
1. új egyenlet:
7x - 2z = 12
Új 2. egyenlet:
11x - 11z = 11
Egyetlen változó sem törli önmagát, ezért mindkét egyenletet módosítania kell. Szorozzuk meg az első új egyenlet mindkét oldalát 11-gyel, és szorozzuk meg a második új egyenlet mindkét oldalát -2-vel. Ez megadja:
Új 1. egyenlet (módosítva):
77x - 22z = 132
Új 2. egyenlet (módosítva):
-22x + 22z = -22
Adja össze mindkét egyenletet, és egyszerűsítse, ami:
x = 2
Most, hogy tudod az értékétx, helyettesítheti az eredeti egyenletekkel. Ez megadja:
1. helyettesített egyenlet:
y + 3z = 6
Helyettesített 2. egyenlet:
-y - 5z = -8
Helyettesített 3. egyenlet:
2y - z = 5
Válasszon bármelyik kettőt az új egyenletek közül, és kombinálja őket egy másik változó kiküszöbölésére. Ebben az esetben az 1. helyettesített egyenlet és a 2. helyettesített egyenlet hozzáadása tesziyszépen lemondani. Az egyszerűsítés után:
z = 1
Helyettesítse az 5. lépés értékét bármelyik helyettesített egyenletre, majd oldja meg a fennmaradó változót,y.Fontolja meg a 3. számú helyettesített egyenletet:
Helyettesített 3. egyenlet:
2y - z = 5
A (z) értékének helyettesítésezad 2y- 1 = 5, és aya következőhöz vezet:
y = 3
Tehát a megoldás erre az egyenletrendszerre azx = 2, y= 3 ész = 1.
Vegye figyelembe, hogy az egyenletrendszer megoldásának mindkét módszere ugyanazt a megoldást hozta el: (x = 2, y = 3, z= 1). Ellenőrizze munkáját úgy, hogy ezt az értéket behelyettesíti a három egyenletbe.