Az egyenletrendszerek megoldására leggyakrabban használt három módszer a szubsztitúció, elimináció és kibővített mátrix. A helyettesítés és az elimináció egyszerű módszerek, amelyek két egyszerű egyenlet legtöbb rendszerét néhány egyszerű lépésben hatékonyan képesek megoldani. A kibővített mátrixok módszere több lépést igényel, de alkalmazása a rendszerek több változatára terjed ki.
Helyettesítés
A helyettesítés egy olyan módszer, amellyel egyenletrendszereket lehet megoldani úgy, hogy az egyik egyenletben szereplő változók kivételével az összes változót eltávolítjuk, majd ezt az egyenletet megoldjuk. Ezt úgy érhetjük el, hogy a másik változót elkülönítjük egy egyenletben, majd ezeknek a változóknak az értékeit behelyettesítjük egy másik egyenletbe. Például az x + y = 4, 2x - 3y = 3 egyenletrendszer megoldásához izoláljuk az x változót az első egyenletet kapni x = 4 - y, majd cserélje le y értékét a második egyenletre, hogy 2 (4 - y) - 3y = 3. Ez az egyenlet -5y = -5 vagy y = 1-re egyszerűsödik. Dugja be ezt az értéket a második egyenletbe, hogy megtalálja x értékét: x + 1 = 4 vagy x = 3.
Megszüntetés
Az elimináció egy másik módszer az egyenletrendszerek megoldására, ha az egyik egyenletet csak egy változóra írjuk át. Az eliminációs módszer ezt úgy éri el, hogy egyenleteket ad össze vagy von le egymásból, hogy törölje az egyik változót. Például az x + 2y = 3 és 2x - 2y = 3 egyenletek összeadásával új egyenletet kapunk, 3x = 6 (vegye figyelembe, hogy az y kifejezések törlődtek). A rendszert ezután ugyanazokkal a módszerekkel oldják meg, mint a helyettesítést. Ha lehetetlen törölni az egyenletek változóit, akkor az együtthatók egyezéséhez meg kell szorozni a teljes egyenletet egy tényezővel.
Kiterjesztett mátrix
A kiterjesztett mátrixok egyenletrendszerek megoldására is használhatók. A kibővített mátrix sorokból áll az egyes egyenletekhez, oszlopok minden változóhoz, és egy kibővített oszlop, amely az egyenlet másik oldalán az állandó tagot tartalmazza. Például a 2x + y = 4, 2x - y = 0 egyenletrendszer kibővített mátrixa [[2 1], [2-1]... [4, 0]].
A megoldás meghatározása
A következő lépés magában foglalja az elemi sorműveletek használatát, például egy sor megszorozását vagy elosztását egy nem nulla konstanssal és a sorok összeadásával vagy kivonásával. Ezeknek a műveleteknek a célja a mátrix konvertálása sor-echelon formává, amelyben az egyes sorok első nem nulla bejegyzése 1, e bejegyzés alatt és alatt mind a nulla, és az egyes sorok első, nulla nélküli bejegyzése mindig a sorok összes ilyen bejegyzésétől jobbra található felette. A fenti mátrix sor-echelon alakja [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Az első változó értékét az első sor adja meg (1x + 0y = 1 vagy x = 1). A második változó értékét a második sor adja meg (0x + 1y = 2 vagy y = 2).
Alkalmazások
A helyettesítés és az elimináció egyszerűbb módszer az egyenletek megoldására, és sokkal gyakrabban használják őket, mint az alap algebra kiterjesztett mátrixait. A helyettesítési módszer különösen akkor hasznos, ha az egyik változó már el van választva az egyik egyenletből. Az eliminációs módszer akkor hasznos, ha az egyik változó együtthatója megegyezik (vagy ennek negatív egyenértéke) az összes egyenletben. A kibővített mátrixok elsődleges előnye, hogy három vagy több egyenletből álló rendszerek megoldására alkalmazható olyan helyzetekben, amikor a helyettesítés és elimináció megvalósíthatatlan vagy lehetetlen.