A másodfokú egyenletek olyan képletek, amelyek Ax ^ 2 + Bx + C = 0 alakban írhatók. Előfordul, hogy a másodfokú egyenletet egyszerűsíthetjük faktorálással, vagy az egyenlet külön kifejezések szorzataként történő kifejezésével. Ez megkönnyítheti az egyenlet megoldását. A tényezőket néha nehéz azonosítani, de vannak olyan trükkök, amelyek megkönnyítik a folyamatot.
Csökkentse az egyenletet a legnagyobb közös tényezővel
Vizsgálja meg a másodfokú egyenletet, hogy megállapítsa, van-e olyan szám és / vagy változó, amely fel tudja osztani az egyenlet egyes tagjait. Vegyük például a 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 egyenletet. Az egyenlet minden tagjára egyenletesen osztható legnagyobb szám 2, tehát 2 a legnagyobb közös tényező (GCF).
Osszuk el az egyenletben szereplő egyes kifejezéseket a GCF-fel, és szorozzuk meg a teljes egyenletet a GCF-kel. A példa 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 egyenletben ennek eredménye 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).
Egyszerűsítse a kifejezést azáltal, hogy minden tagban elvégzi az osztást. A végső egyenletben nem lehetnek törtek. A példában ennek eredményeként 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0 lesz.
Keresse meg a négyzetek különbségét (ha B = 0)
Vizsgálja meg a másodfokú egyenletet, hogy megnézze, hogy Ax ^ 2 + 0x - C = 0 formában van-e, ahol A = y ^ 2 és C = z ^ 2. Ha ez a helyzet, a másodfokú egyenlet két négyzet különbségét fejezi ki. Például a 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0 egyenletben A = 4 = 2 ^ 2 és C = 9 = 3 ^ 2, tehát y = 2 és z = 3.
Tényezzük az egyenletet formába (yx + z) (yx - z) = 0. A példaegyenletben y = 2 és z = 3; ezért a tényező másodfokú egyenlete (2x + 3) (2x - 3) = 0. Ez mindig egy négyzetes egyenlet tényező alakja lesz, amely a négyzetek különbsége.
Keresse meg a Tökéletes négyzeteket
Vizsgálja meg a másodfokú egyenletet, hogy megnézze, tökéletes-e ez a négyzet. Ha a másodfokú egyenlet tökéletes négyzet, akkor azt írhatjuk y ^ 2 + 2yz + z ^ 2 formában, például a 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0 egyenletet, amely átírható (2x) ^ 2 formátumban + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Ebben az esetben y = 2x és z = 3.
Ellenőrizze, hogy a 2yz kifejezés pozitív-e. Ha a kifejezés pozitív, akkor a tökéletes négyzetes kvadratikus egyenlet tényezői mindig (y + z) (y + z). Például a fenti egyenletben a 12x pozitív, ezért a tényezők (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Ellenőrizze, hogy a 2yz kifejezés negatív-e. Ha a kifejezés negatív, a tényezők mindig (y - z) (y - z). Például, ha a fenti egyenletben a 12x helyett a -12x kifejezés szerepelne, akkor a tényezők a következőek lennének: (2x - 3) (2x - 3) = 0.
Fordított FOIL szorzási módszer (ha A = 1)
Állítsa be a másodfokú egyenlet faktorszámát úgy, hogy (vx + w) (yx + z) = 0 írja. Idézzük fel a FOIL-szorzás szabályait (Első, Külső, Belül, Utolsó). Mivel a másodfokú egyenlet első tagja Ax ^ 2, az egyenlet mindkét tényezőjének tartalmaznia kell egy x-et.
Oldja meg v és y értékét úgy, hogy figyelembe veszi az A összes tényezőjét a másodfokú egyenletben. Ha A = 1, akkor v és y is mindig 1 lesz. A példában az x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1 egyenletet, tehát v és y megoldhatók a faktori egyenletben, hogy (1x + w) (1x + z) = 0 legyen.
Határozza meg, hogy w és z pozitív vagy negatív. A következő szabályok érvényesek: C = pozitív és B = pozitív; mindkét tényező + + előjelű C = pozitív és B = negatív; mindkét tényezőnek van - jele C = negatív és B = pozitív; a legnagyobb értékű tényező + előjele C = negatív és B = negatív; a legnagyobb értékű tényezőnek van - előjele. A 2. lépésben szereplő egyenletben B = -9 és C = +8, tehát az egyenlet mindkét tényezőjének lesz - előjele, és a faktoriált egyenlet felírható (1x - w) (1x - z) = 0.
Készítsen egy listát a C összes tényezőjéről, hogy megtalálja w és z értékeit. A fenti példában C = 8, tehát a tényezők 1 és 8, 2 és 4, -1 és -8, valamint -2 és -4. A tényezőknek össze kell adniuk a B értéket, amely -9 a példaegyenletben, tehát w = -1 és z = -8 (vagy fordítva), és egyenletünket teljes mértékben (1x - 1) (1x - 8) = 0.
Doboz módszere (ha A nem = 1)
Csökkentse az egyenletet a legegyszerűbb formájára, a fentebb felsorolt Greatest Common Factor módszerrel. Például a 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 egyenletben a GCF 9, így az egyenlet 9-re (x ^ 2 + 3x - 10) egyszerűsödik.
Rajzoljon egy dobozt, és ossza fel két soros és két oszlopos táblára. Tegye az egyszerűsített egyenlet Ax ^ 2 -jét az 1. sor 1. oszlopába, és az egyszerűsített egyenlet C-jét a 2. sor 2. oszlopába.
Szorozzuk A-t C-vel, és keressük meg a szorzat összes tényezőjét. A fenti példában A = 1 és C = -10, tehát a szorzat (1) (- 10) = -10. A -10 tényezők -1 és 10, -2 és 5, 1 és -10, valamint 2 és -5.
Határozza meg, hogy a termék AC tényezői közül melyik adja a B értéket. A példában B = 3. A 3-ig összeadódó -10 tényezők -2 és 5.
Szorozza meg az azonosított tényezőket x-szel. A fenti példában ennek eredménye -2x és 5x. Tegye ezt a két új kifejezést a diagram két üres helyébe, hogy a táblázat így nézzen ki:
x ^ 2 | 5x
-2x | -10
Keresse meg a doboz minden sorához és oszlopához tartozó GCF-et. A példában a felső sor CGF-je x, az alsó soré pedig -2. Az első oszlop GCF-je x, a második oszlopé pedig 5.
Írja fel a faktori egyenletet (w + v) (y + z) formában a w és v diagramsoraiból azonosított tényezők, valamint y és z diagramoszlopokból azonosított tényezők felhasználásával. Ha az egyenletet az 1. lépésben leegyszerűsítettük, ne felejtsük el, hogy az egyenlet GCF-jét belefoglaljuk a tényezőbe. A példa esetében a faktoriált egyenlet 9 (x - 2) (x + 5) = 0 lesz.
Tippek
A leírt módszerek bármelyikének megkezdése előtt ellenőrizze, hogy az egyenlet standard másodfokú formában van-e.
Nem mindig könnyű megtalálni a tökéletes négyzetet vagy négyzetkülönbséget. Ha gyorsan látja, hogy a másodfokú egyenlet, amelyet megpróbál tényezővé tenni, az egyik ilyen formában van, akkor ez nagy segítség lehet. Azonban ne töltsön sok időt ennek kitalálásával, mivel a többi módszer gyorsabb lehet.
Mindig ellenőrizze munkáját úgy, hogy a FOIL módszerrel megszorozza a tényezőket. A tényezőknek mindig vissza kell szorozniuk az eredeti másodfokú egyenlethez.