A köbös egyenletek megoldása

A polinomfüggvények megoldása kulcsfontosságú készség mindenki számára, aki matematikát vagy fizikát tanul, de a folyamat megismerése - különösen, ha magasabb rendű függvényekről van szó - meglehetősen kihívást jelenthet. A köbfüggvény az egyik legnagyobb kihívást jelentő polinomiális egyenlet, amelyet esetleg kézzel kell megoldanod. Bár lehet, hogy ez nem olyan egyszerű, mint másodfokú egyenlet megoldása, van néhány módszer segítségével megtalálhatja a köbös egyenlet megoldását anélkül, hogy részletes oldalakra vagy oldalakra lenne szükség algebra.

A köbfüggvény egy harmadik fokú polinom. Az általános polinomfüggvénynek az alábbi formája van:

Itt, x a változó, n egyszerűen tetszőleges szám (és a polinom mértéke), k konstans, a többi betű pedig állandó együttható az egyes hatványokra x. Tehát egy köbfüggvénynek van n = 3, és egyszerűen:

Ha ebben az esetben d az állandó. Általánosságban elmondható, hogy ha meg kell oldania egy köbös egyenletet, akkor a következő formában jelenik meg:

Minden megoldás a x az egyenlet „gyökerének” nevezzük. A köbös egyenleteknek vagy egy valódi gyöke van, vagy három, bár megismételhetők, de mindig van legalább egy megoldás.

Az egyenlet típusát a legnagyobb teljesítmény határozza meg, így a fenti példában nem lenne köbös egyenlet, ha a = 0, mert a legmagasabb hatalmi kifejezés az lenne bx² és ez másodfokú egyenlet lenne. Ez azt jelenti, hogy az összes köbös egyenlet:

A köbös egyenlet megoldásának legegyszerűbb módja egy kis találgatás és egy szintetikus osztásnak nevezett algoritmikus típusú folyamat. A start azonban alapvetően megegyezik a köbös egyenlet megoldások próba és hiba módszerével. Próbáld kitalálni, hogy mi az egyik gyökér, találgatással. Ha van olyan egyenlete, ahol az első együttható, a, egyenlő 1-vel, akkor valamivel könnyebb kitalálni az egyik gyökeret, mert ezek mindig az állandó kifejezés tényezői, amelyet a d.

Tehát például a következő egyenletet nézve:

Kitalálnia kell az egyik értékét x, de azóta a = 1 ebben az esetben tudja, hogy bármi is legyen az érték, annak 24-es tényezőnek kell lennie. Az első ilyen tényező 1, de ez megmarad:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Ami nem nulla, és −1 elhagyná:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Ami megint nem nulla. Következő, x = 2 adná:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Újabb kudarc. Próbál x = −2 adja:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Ez azt jelenti, hogy x = −2 a köbös egyenlet gyöke. Ez megmutatja a próba és hiba módszer előnyeit és hátrányait: A választ sok minden nélkül megkaphatja gondolat, de időigényes (különösen, ha magasabb tényezőkhöz kell menned, mielőtt gyökeret találnál). Szerencsére, ha megtalálta az egyik gyökeret, az egyenlet többi részét könnyen megoldhatja.

A legfontosabb a faktor-tétel beépítése. Ez kimondja, hogy ha x = s megoldás, akkor (x – s) az egyenletből kihúzható tényező. Ebben a helyzetben s = −2, és így (x + 2) olyan tényező, amelyet kihúzhatunk a távozáshoz:

A zárójelek második csoportjában szereplő kifejezések másodfokú egyenlet formájúak, tehát ha megtalálja a megfelelő értékeket a a és b, az egyenlet megoldható.

Ez szintetikus osztással valósítható meg. Először írja le az eredeti egyenlet együtthatóit a táblázat felső sorába, elválasztó vonallal, majd a jobb oldalon található ismert gyökérrel:

Hagyjon egy tartalék sort, majd adjon hozzá vízszintes vonalat. Először vigye az első számot (ebben az esetben 1) a vízszintes vonala alatti sorig

Most megszorozzuk az imént lehozott számot az ismert gyökérrel. Ebben az esetben 1 × −2 = −2, és ezt a lista következő száma alá írjuk a következőképpen:

Ezután adja hozzá a számokat a második oszlopba, és tegye az eredményt a vízszintes vonal alá:

Most ismételje meg az imént átélt folyamatot a vízszintes vonal alatti új számmal: Szorozza meg a gyökér, tegye a választ a következő oszlop üres helyére, majd adja hozzá az oszlopot, hogy új számot kapjon a alsó sor. Így marad:

És akkor végleges idő alatt menjen végig a folyamaton.

Az a tény, hogy az utolsó válasz nulla, azt mondja, hogy érvényes gyökérzettel rendelkezik, tehát ha ez nem nulla, akkor valahol hibát követett el.

Az alsó sor a második zárójelben szereplő három kifejezés tényezőit ismerteti, így írhat:

És aztán:

Ez a megoldás legfontosabb állomása, és ettől a ponttól kezdve sokféleképpen végezhet.

Miután eltávolított egy faktort, megoldást találhat a faktorizálás segítségével. A fenti lépéstől kezdve ez alapvetően ugyanaz a probléma, mint a másodfokú egyenlet faktorozása, amely bizonyos esetekben kihívást jelenthet. Azonban a következő kifejezésre:

Ha emlékszel, hogy a zárójelbe tett két számot hozzá kell adni a második együttható (7) megadásához, és szorozni kell a harmadik (12) megadásához, ebben az esetben meglehetősen könnyű belátni:

Ha szeretné, ezt meg is szaporíthatja az ellenőrzéshez. Ne érezze magát csüggedten, ha nem látja azonnal a faktort; egy kis gyakorlást igényel. Ez az eredeti egyenletet így hagyja:

Amit azonnal láthat, annak vannak megoldásai x = −2, 3 és 4 (mindegyik 24 tényezője, az eredeti állandó). Elméletileg az is lehetséges, hogy az egész faktorizáció az egyenlet eredeti változatától induljon, de ez sok nagyobb kihívást jelent, ezért jobb, ha megpróbálkozik egy megoldással, és a fenti megközelítést alkalmazza, mielőtt megpróbálná észrevenni a faktorizáció.

Ha nehezen látja a faktort, használhatja a másodfokú egyenlet képletét:

A fennmaradó megoldások megtalálásához.

Bár sokkal nagyobb és kevésbé egyszerű kezelni, van egy egyszerű köbegyenlet-megoldó a köbképlet formájában. Ez olyan, mint a másodfokú egyenlet képlete, amelyben csak beírja az értékeit a, b, c és d hogy megoldást kapjon, de sokkal hosszabb.

Kimondja, hogy:

hol

és

Ennek a képletnek az használata időigényes, de ha nem szeretné a köbös egyenletmegoldásokhoz a próba és hiba módszert, majd a másodfokú képletet használni, akkor ez akkor működik, ha végigmegy az egészen.