A törtekkel rendelkező polinomok tényezőjének számításba vételének legjobb módja a frakciók egyszerűbb kifejezésekké történő csökkentése. A polinomok két vagy több tagú algebrai kifejezéseket képviselnek, pontosabban azoknak a kifejezéseknek az összegét, amelyeknek ugyanazon változó különböző kifejezései vannak. A polinomok egyszerűsítését segítő stratégiák magukban foglalják a legnagyobb közös tényező kiszámítását, majd az egyenletet a legalacsonyabb tagokba csoportosítják. Ugyanez érvényes akkor is, ha a polinomokat törtekkel oldjuk meg.
Polinomok definiált törtekkel
Háromféleképpen tekintheti meg a törtekkel rendelkező polinom kifejezést. Az első értelmezés az együtthatók törtekkel rendelkező polinomjaival foglalkozik. Az algebrában az együttható a változó előtt talált számmennyiség vagy állandó. Más szavakkal, a 7_a_ együtthatói, b és (1/3)c 7, 1 és (1/3). A frakció-együtthatójú polinomokra tehát két példa lenne:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {és} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
A „frakciókkal rendelkező polinomok” második értelmezése a frakciókban vagy arányban létező polinomokra utal űrlapot számlálóval és nevezővel, ahol a számláló polinomját elosztjuk a nevezővel polinom. Például ezt a második értelmezést szemlélteti:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
A harmadik értelmezés időközben a részleges frakciók lebontására vonatkozik, más néven részleges frakció-tágulásra. Néha a polinomfrakciók összetettek, így amikor „lebontják” vagy „lebontják” őket egyszerűbb kifejezések, összegekként, különbségként, szorzatként vagy polinom hányadosaként kerülnek bemutatásra törtek. Szemléltetésképpen a következők komplex polinomi töredéke:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
részleges frakcióbontás útján értékelik, amely egyébként a polinomok faktorálását foglalja magában, a legegyszerűbb formájában:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
A faktoring alapjai - disztributív tulajdonság és FOIL módszer
A tényezők két számot képviselnek, amelyek összeszorozva megegyeznek egy harmadik számmal. Az algebrai egyenletekben a faktorálás határozza meg, hogy mely két mennyiséget szorozták össze egy adott polinom eléréséhez. A disztribúciós tulajdonságot erősen követik a polinomok szorzásakor. A disztributív tulajdonság lényegében lehetővé teszi, hogy egy összeget megszorozzunk úgy, hogy minden számot külön-külön megszorzunk, mielőtt a termékeket hozzáadnánk. Figyelje meg például a disztribúciós tulajdonság alkalmazását a következő példában:
7 (10x + 5) \ text {a 70x + 35 binomiáljához érkezik.
De ha két binomiált szorzunk össze, akkor a disztribúciós tulajdonság kiterjesztett változatát használjuk a FOIL módszerrel. A FOIL az Első, Külső, Belső és Utolsó kifejezések szorzata. Ezért a polinomok faktorálása a FOIL módszer visszafelé történő végrehajtását vonja maga után. Vegyük a fenti két példát a frakció-együtthatókat tartalmazó polinomokkal. A FOIL módszer visszamenőleges végrehajtása mindegyikük tényezőit eredményezi
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
az első polinomra, és a tényezők
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
a második polinomra.
Példa:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Példa:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
A polinomi törtek faktorozásakor megteendő lépések
Felülről nézve a polinomfrakciók egy polinomot foglalnak magukba a számlálóban, osztva a nevezőben szereplő polinommal. A polinomfrakciók értékelése tehát először a számláló polinomjának faktorizálását teszi szükségessé, majd a nevező polinomjának faktorizálását. Segít megtalálni a legnagyobb közös tényezőt, vagyis a GCF-et a számláló és a nevező között. Miután megtalálta mind a számláló, mind a nevező GCF-értékét, ez törlődik, és végül az egész egyenletet egyszerűsített kifejezésekké redukálja. Tekintsük az eredeti polinomiális frakció fenti példáját
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
A számláló és a nevező polinomjainak faktorozása a GCF megtalálásához a következőket eredményezi:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
a GCF mellett (x + 2).
A számlálóban és a nevezőben lévő GCF törli egymást, hogy a végső választ a (x + 5) ÷ (x + 9).
Példa:
\ begin {igazítva} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ cancel { x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ vég {igazítva}
Az egyenletek értékelése részleges törésbontással
A részleges frakcióbontás, amely magában foglalja a faktort, a komplex polinomfrakció-egyenletek egyszerűbb formába történő átírásának módja. A fenti példa felülnézete
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Egyszerűsítse a nevezőt
Egyszerűsítse a nevezőt, hogy megkapja:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Rendezze át a számlálót
Ezután rendezze át a számlálót úgy, hogy az megkapja a GCF-eket a nevezőben:
\ begin {aligned} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {igazítva}
A bal oldali kiegészítésnél a GCF (x - 1), míg a megfelelő kiegészítésnél a GCF (x + 2), amelyek törlődnek a számlálóban és a nevezőben, amint az látható:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ cancel {(x - 1)}} {(x + 2) \ cancel {(x - 1)}} + \ frac {5 \ cancel {(x + 2)}} {\ cancel {(x + 2)} (x - 1) }
Így amikor a GCF-ek törlődnek, a végső egyszerűsített válasz a következő:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
mint a részleges frakció bomlásának oldata.