Az elektromágnesesség rejtelmeinek megoldása a fizika eddigi egyik legnagyobb eredménye volt, és a megtanult tanulságok teljesen be vannak zárva Maxwell egyenleteibe.
James Clerk Maxwell nevét adja ennek a négy elegáns egyenletnek, de ezek sok fizikus évtizedes munkájának csúcspontját jelentik, köztük Michael Faraday, Andre-Marie Ampere és Carl Friedrich Gauss - akik a négy egyenlet közül háromnak adják a nevüket - és sok mások. Míg Maxwell csak egy kifejezést adott hozzá a négy egyenlet egyikéhez, előrelátása és megértése volt gyűjtsd össze a témában végzett munka legjavát, és mutasd be őket a mai napig használt módon fizikusok ma.
Sok-sok éven keresztül a fizikusok úgy vélték, hogy az elektromosság és a mágnesesség különálló erők és különálló jelenségek. De olyan emberek kísérleti munkája révén, mint Faraday, egyre világosabbá vált, hogy valójában ők a ugyanaz a jelenség, és Maxwell egyenletei mutatják be ezt az egységes képet, amely ma is ugyanolyan érvényes, mint a XIX század. Ha magasabb szinten fogsz fizikát tanulni, akkor feltétlenül tudnod kell Maxwell egyenleteit és azok használatát.
Maxwell egyenletei
Maxwell egyenletei a következők, mind differenciális, mind integrális alakban. (Vegye figyelembe, hogy bár a differenciálegyenletek ismerete itt hasznos, fogalmi megértés nélkül is lehetséges.)
Gauss törvénye a villamos energiáról
Differenciál forma:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integrált forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Nincs monopólium törvény / Gauss törvénye a mágnesességről
Differenciál forma:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integrált forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faraday indukciós törvénye
Differenciál forma:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integrált forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell törvény / Ampere törvénye
Differenciál forma:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integrált forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
A Maxwell egyenleteiben használt szimbólumok
Maxwell egyenletei elég nagy választékot használnak a szimbólumokból, és fontos, hogy megértsék, mit jelentenek ezek, ha megtanulják alkalmazni őket. Tehát itt van a használt szimbólumok jelentésének lerövidítése:
B= mágneses mező
E= elektromos mező
ρ= elektromos töltéssűrűség
ε0= szabad tér permittivitása = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= teljes elektromos töltés (a pozitív és negatív töltések nettó összege)
𝜙B = mágneses fluxus
J= áramsűrűség
én= elektromos áram
c= fénysebesség = 2,998 × 108 Kisasszony
μ0 = a szabad tér áteresztőképessége = 4π × 10−7 N / A2
Ezenkívül fontos tudni, hogy ∇ a del operátor, egy pont két mennyiség között (x ∙ Y) skaláris szorzatot mutat be, a két mennyiség közötti félkövér szorzási szimbólum egy vektor szorzat (x × Y), hogy a del operátort egy ponttal „divergenciának” nevezzük (pl. ∇ ∙ x= eltérésex= divx) és egy skaláris szorzattal rendelkező del operátort hívunk göndörnek (pl. ∇× Y= göndörY= göndörY). Végül aAd-benAazt a zárt felületet jelenti, amelyre számol (néha d-vel írva)S), és asd-bensegy nagyon kis része annak a nyitott felületnek a határán, amelyre számol (bár ez néha dl, egy végtelenül kis vonalkomponensre utalva).
Az egyenletek levezetése
Maxwell egyenleteinek első egyenlete Gauss törvénye, és kimondja, hogy a nettó elektromos fluxus a zárt felület megegyezik az alakzatban lévő teljes töltéssel, osztva a szabad permittivitásával tér. Ez a törvény Coulomb törvényéből vezethető le, miután megtette azt a fontos lépést, hogy Coulomb törvényét kifejezzük egy elektromos mező és annak hatása által, amelyet a teszt töltésre gyakorolna.
Maxwell egyenleteinek második része lényegében megegyezik azzal a kijelentéssel, hogy „nincsenek mágneses monopólusok”. Azt állítja hogy a zárt felületen áthaladó nettó mágneses fluxus mindig 0 lesz, mert a mágneses mezők mindig a dipól. A törvény levezethető a Biot-Savart törvényből, amely leírja az áramelem által létrehozott mágneses teret.
A harmadik egyenlet - Faraday indukciós törvénye - leírja, hogy a változó mágneses tér hogyan hoz létre feszültséget egy huzalban vagy egy vezetékben. Eredetileg egy kísérletből származott. Tekintettel azonban arra az eredményre, hogy a változó mágneses fluxus elektromotoros erőt (EMF vagy feszültséget) és ezáltal elektromos áramot indukál egy huzal huzal, és az a tény, hogy az EMF az áramkör körül az elektromos mező vonalintegrálja, a törvény könnyen megfogalmazható együtt.
A negyedik és egyben utolsó egyenlet, az Ampere-törvény (vagy az Ampere-Maxwell-törvény, amely hitelt ad neki hozzájárulás) leírja, hogy egy mágneses mező hogyan jön létre egy mozgó töltéssel vagy egy változó elektromos energiával terület. A törvény a kísérlet eredménye (és így - mint Maxwell összes egyenlete - valójában nem is hagyományos értelemben vett „származtatott”), hanemStokes tételefontos lépés ahhoz, hogy az alaperedmény a ma használt formába kerüljön.
Példák Maxwell egyenleteire: Gauss-törvény
Hogy őszinte legyek, főleg, ha éppen nem áll fent a vektorszámításban, Maxwell egyenletei igencsak ijesztőnek tűnnek annak ellenére, hogy mind viszonylag kompaktak. A megértésük legjobb módja az, hogy áttekintünk néhány példát a gyakorlati alkalmazásukra, és Gauss törvénye a legjobb kiindulópont. Gauss-törvény lényegében egy alapvetőbb egyenlet, amely elvégzi Coulomb-törvény feladatát, és ez elég könnyű levezetni belőle Coulomb törvényét, figyelembe véve a pont által előállított elektromos mezőt díj.
Felszámolás hívásaq, a Gauss-törvény alkalmazásának kulcsfontosságú pontja a megfelelő „felület” megválasztása az átáramló elektromos fluxus vizsgálatához. Ebben az esetben egy gömb jól működik, amelynek felülete vanA = 4πr2, mert a gömböt központozhatja a ponttöltésre. Ez óriási előny az ilyen problémák megoldásában, mert akkor nem kell változó mezőt integrálnia a felszínre; a mező szimmetrikus lesz a pont töltése körül, és így állandó lesz a gömb felületén. Tehát az integrál forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Kifejezhető:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Vegye figyelembe, hogy aEmert az elektromos mezőt egyszerű nagyságrendűre cserélték, mert a ponttöltéstől származó mező egyszerűen egyenletesen terül el minden irányban a forrástól. Most, ha elosztjuk a gömb felületével, a következőket kapjuk:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Mivel az erő az elektromos térrel függ összeE = F/q, holqteszt töltet,F = qE, és aztán:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Ahol az előfizetéseket hozzáadták a két díj megkülönböztetéséhez. Ez a Coulomb-féle törvény, amelyet szabványos formában közöltek, és bizonyítottan Gauss törvényének egyszerű következménye.
Példák Maxwell egyenleteire: Faraday törvénye
Faraday törvénye lehetővé teszi az elektromotoros erő kiszámítását a változó mágneses térből származó hurkú hurkban. Egyszerű példa erre a huzal, sugárralr= 20 cm, mágneses mezőben, amelynek nagysága:Bén = 1 T-igBf = 10 T a the térbent= 5 s - mekkora az indukált EMF ebben az esetben? A törvény integrális formája magában foglalja a fluxust:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
amely a következőképpen van meghatározva:
ϕ = BA \ cos (θ)
A probléma fő része itt a fluxus változásának sebességének megtalálása, de mivel a probléma meglehetősen egyértelmű, a részleges deriváltat helyettesítheti az egyes mennyiségek egyszerű „változásával”. És az integrál valójában csak az elektromotoros erőt jelenti, így átírhatja Faraday indukciós törvényét:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Ha feltételezzük, hogy a huzal hurkjának normális értéke a mágneses térhez igazodik,θ= 0 ° és így cos (θ) = 1. Így marad:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Ezután a probléma megoldható a kezdeti és a végső mágneses mező és a hurok területe közötti különbség megállapításával az alábbiak szerint:
\ begin {igazítva} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {igazítva}
Ez csak egy kis feszültség, de Faraday törvényét ettől függetlenül ugyanúgy alkalmazzák.
Példák Maxwell egyenleteire: Ampere-Maxwell törvény
Az Ampere-Maxwell törvény az utolsó Maxwell-egyenlet, amelyet rendszeresen alkalmaznia kell. Az egyenlet változó elektromos tér hiányában visszatér Ampere törvényéhez, így ezt a legkönnyebben figyelembe vehető példát. Használhatja annak az egyenletnek a levezetésére, amely egy áramot hordozó egyenes vezetékből származikén, és ez az alap példa elegendő az egyenlet használatának bemutatására. A teljes törvény:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
De az elektromos tér változása nélkül a következőkre csökken:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Most, mint Gauss-törvénynél, ha a felszínhez egy kört választunk, amely a huzal hurkára van központozva, az intuíció azt sugallja, hogy a kapott mágneses mező szimmetrikus lesz, és így az integrált kicserélheti a hurok kerülete és a mágneses térerősség egyszerű szorzatával, kilépő:
B × 2πr = μ_0 I
Osztás 2π-velrad:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Ami a távolságban elfogadott mágneses mező kifejezésráramot hordozó egyenes vezetékből származik.
Elektromágneses hullámok
Amikor Maxwell összeállította az egyenletkészletét, elkezdett megoldásokat találni rájuk a különféle magyarázatok segítésére jelenségek a való világban, és az általa világossá tett betekintés az egyik legfontosabb eredmény, amelyet ő kapott.
Mivel a változó elektromos tér mágneses teret generál (Ampere törvénye szerint), és a változó mágneses mező generál elektromos mező (Faraday törvénye szerint), Maxwell kidolgozta, hogy egy önmagában terjedő elektromágneses hullám lehetséges. Az egyenleteivel megtalálta a hullámegyenletet, amely leírja egy ilyen hullámot, és meghatározta, hogy az fénysebességgel haladjon. Ez egyfajta „eureka” pillanat volt; rájött, hogy a fény az elektromágneses sugárzás egyik formája, amely ugyanúgy működik, mint az általa elképzelt mező!
Az elektromágneses hullám egy elektromos mező hullámból és egy előre-hátra oszcilláló, egymással derékszögben igazított mágneses tér hullámból áll. A hullám elektromos részének rezgése generálja a mágneses teret, és ennek a résznek az oszcillálása viszont ismét elektromos teret hoz létre, tovább és tovább, ahogy az űrben halad.
Mint minden más hullámnak, az elektromágneses hullámnak is van frekvenciája és hullámhossza, és ezek szorzata mindig megegyezikc, a fénysebesség. Elektromágneses hullámok vannak körülöttünk, és a látható fény mellett más hullámhosszakat is szokás rádióhullámoknak, mikrohullámoknak, infravörös, ultraibolya, röntgensugaraknak és gammasugaraknak nevezni. Az elektromágneses sugárzás ezen formáinak mindegyike megegyezik az alapalakjával, amelyet Maxwell egyenletei magyaráznak, de energiájuk a frekvenciától függően változik (vagyis a magasabb frekvencia magasabb energiát jelent).
Tehát egy fizikus számára Maxwell mondta: „Legyen világosság!”