A matematikában a szekvencia bármely növekvő vagy csökkenő sorrendbe rendezett számsor. Egy szekvencia akkor válik geometriai szekvenciává, ha az egyes számokat úgy kapja meg, hogy az előző számot megszorozza egy közös tényezővel. Például az 1., 2., 4., 8., 16. sorozat... egy geometriai szekvencia a közös 2-es faktorral. Ha a sorozat bármely számát megszorozza 2-vel, akkor megkapja a következő számot. Ezzel szemben a 2., 3., 5., 8., 14., 22. szekvencia... nem geometriai, mert a számok között nincs közös tényező. Egy geometriai szekvenciának lehet egy törtrészes közös tényezője, ebben az esetben minden egymást követő szám kisebb, mint az azt megelőző. 1, 1/2, 1/4, 1/8... egy példa. Közös tényezője 1/2.
Az a tény, hogy a geometriai sorrendnek közös tényezője van, két dolgot tesz lehetővé. Az első az, hogy kiszámoljuk a szekvencia bármely véletlenszerű elemét (amelyet a matematikusoknth "elem), a második pedig a geometriai szekvencia összegének megtalálása anth elem. Ha a sorrendet úgy összeadja, hogy pluszjelet tesz az egyes kifejezéspárok közé, akkor a sorrendet geometriai sorozattá alakítja.
Az n-edik elem megkeresése egy geometriai sorozatban
Általában bármely geometriai sorozatot a következőképpen ábrázolhat:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
hol "a"a sorozat első kifejezése és"r"a közös tényező. Ennek ellenőrzéséhez vegye figyelembe azt a sorozatot, amelybena= 1 ésr= 2. 1 + 2 + 4 + 8 + 16-ot kap... működik!
Ennek megállapítása után most már lehet egy képletet levezetni a sorozat n-edik tagjára (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
A kitevő azn- Inkább 1nhogy a szekvencia első tagját úgy írhassukar0, ami egyenlő "a."
Ezt ellenőrizze a példa sorozat 4. tagjának kiszámításával.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
A geometriai szekvencia összegének kiszámítása
Ha egy divergens szekvenciát szeretne összefoglalni, amelynek közös adagja nagyobb, mint 1 vagy kisebb, mint -1, akkor ezt csak véges számú kifejezésig teheti meg. Kiszámítható azonban egy végtelen konvergens szekvencia összege, amelynek közös aránya 1 és - 1 között van.
A geometriai összeg képletének kidolgozásához kezdje meg annak mérlegelésével, hogy mit csinál. A következő kiegészítések sorozatát keresi:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
A sorozat egyes tagjai:ark, ésk0-ról lépn− 1. A sorozat összegének képlete a nagybetűs sigma előjelet használja - ∑ -, ami azt jelenti, hogy a (k= 0) - (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Ennek ellenőrzéséhez vegye figyelembe a geometriai sorozat első 4 tagjának összegét, amely 1-től kezdődik, és amelynek közös tényezője 2. A fenti képletbena = 1, r= 2 ésn= 4. Ha bekapcsolja ezeket az értékeket, a következőket kapja:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Ezt könnyű ellenőrizni, ha saját maga adja hozzá a sorozat számait. Valójában, amikor szüksége van egy geometriai sorozat összegére, általában könnyebb saját maga hozzáadni a számokat, ha csak néhány kifejezés van. Ha azonban a sorozatnak nagy száma van, sokkal könnyebb használni a geometriai összeg képletét.