Néha szükség van egy nem nulla vektorra, amely négyzetmátrixszal szorozva visszaadja a vektor többszörösét. Ezt a nem nulla vektort "sajátvektornak" nevezzük. A saját vektorok nemcsak a matematikusokat érdeklik, hanem másokat is olyan szakmákban, mint a fizika és a mérnök. Kiszámításához meg kell értenie a mátrix algebrát és a determinánsokat.
Ismerje meg és értse meg a "sajátvektor" definícióját. Megtalálható egy n x n négyzet alakú A mátrixra és az a-ra is skaláris sajátérték, az úgynevezett "lambda". A Lambdát a görög betű képviseli, de itt rövidítjük L. Ha van egy nem nulla vektor, ahol Ax = Lx, akkor ezt az x vektort "A sajátértékének" nevezzük.
Keresse meg a mátrix sajátértékeit a det (A - LI) = 0 karakterisztikus egyenlet felhasználásával. A "Det" a meghatározót jelenti, az "I" az identitásmátrix.
Számítsa ki az egyes sajátértékek sajátvektorát úgy, hogy megtalálja az E (L) sajátteret, amely a karakterisztikus egyenlet nullterülete. Az E (L) nem nulla vektorai az A sajátvektorai. Ezeket úgy találjuk meg, hogy a sajátvektorokat visszacsatlakoztatjuk a jellegzetes mátrixba, és megtaláljuk az A - LI = 0 alapját.
Számítsa ki a sajátértékeket a karakterisztikus egyenlet használatával. Det (A - LI) értéke (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, ami a jellegzetes polinom. Ennek algebrai megoldása L1 = 4 és L2 = 2, amelyek a mátrixunk sajátértékei.
A nulltér kiszámításával keresse meg az L = 4 sajátvektorát. Tegye ezt úgy, hogy L1 = 4-et helyez a karakterisztikus mátrixba, és megtalálja az A - 4I = 0 alapját. Ezt megoldva x - y = 0, vagy x = y-t találunk. Ennek csak egy független megoldása van, mivel egyenlőek, például x = y = 1. Ezért v1 = (1,1) egy sajátvektor, amely lefedi az L1 = 4 sajátterét.
Ismételje meg a 6. lépést, hogy megtalálja az L2 = 2 sajátvektorát. Megtaláljuk x + y = 0, vagy x = --y. Ennek is van egy független megoldása, mondjuk x = --1 és y = 1. Ezért v2 = (--1,1) egy sajátvektor, amely lefedi az L2 = 2 sajátterét.