Négyzetgyökös egyenlet megoldása

A szám négyzetgyöke olyan érték, amelyet önmagával megszorozva megkapja az eredeti számot. Például a 0 négyzetgyöke 0, a 100 négyzetgyöke 10, az 50 négyzetgyöke pedig 7,071. Néha kitalálhatja, vagy egyszerűen felidézheti a szám négyzetgyökét, amely maga egy "tökéletes négyzet", amely egy egész szám szorzata; miközben halad a tanulmányai során, valószínűleg összeállítja ezeknek a számoknak a mentális listáját (1, 4, 9, 25, 36.. .).

A négyzetgyökkel járó problémák elengedhetetlenek a mérnöki munkában, a számításban és a modern világ gyakorlatilag minden területén. Bár online megkeresheti a négyzetgyökös egyenletszámológépeket (lásd például a forrásokat), a négyzetgyökös egyenletek megoldása fontos készség az algebrában, mert ez lehetővé teszi, hogy megismerje a gyökök használatát, és számos problématípussal dolgozzon a négyzetgyök körén kívül önmagában.

Az a tény, hogy két negatív szám együttes megszorzása pozitív számot eredményez, fontos a négyzetgyök világában, mert ez magában foglalja hogy a pozitív számoknak valójában két négyzetgyökük van (például a 16 négyzetgyöke 4 és −4, még ha csak az előbbi is intuitív). Hasonlóképpen, a negatív számoknak nincsenek valódi négyzetgyökei, mert nincs olyan valós szám, amely negatív értéket kapna, ha önmagával szorozzuk. Ebben az előadásban a pozitív szám negatív négyzetgyökét figyelmen kívül hagyják, így a "361 négyzetgyöke" helyett "19" vehető, mint "−19 és 19."

Továbbá, amikor megpróbáljuk megbecsülni egy négyzetgyök értékét, ha egyetlen számológép sem hasznos, fontos felismerni, hogy a négyzeteket és a négyzetgyökeket tartalmazó függvények nem lineárisak. A későbbiekben erről többet láthat a grafikonokról szóló szakaszban, de durva példaként már megfigyelte, hogy a 100 négyzetgyöke 10, a 0 négyzetgyöke pedig 0. Látva, ez arra késztetheti Önt, hogy az 50 négyzetgyökének (ami 0 és 100 között félúton van) 5-nek kell lennie (ami félúton 0 és 10 között van). De azt is megtanulta, hogy az 50 négyzetgyöke 7,071.

Végül lehet, hogy internalizálta azt az elképzelést, hogy két szám együttes szorzása számot eredményez nagyobb, mint maga, ami azt jelenti, hogy a számok négyzetgyöke mindig kisebb, mint az eredeti szám. Nem ez a helyzet! A 0 és 1 közötti számoknak négyzetgyökere is van, és a négyzetgyök minden esetben nagyobb, mint az eredeti szám. Ez legkönnyebben a frakciók segítségével mutatható ki. Például a 16/25, vagyis 0,64, tökéletes négyzettel rendelkezik mind a számlálóban, mind a nevezőben. Ez azt jelenti, hogy a tört négyzetgyöke a legfelső és alsó alkotóelemének négyzetgyöke, amely 4/5. Ez egyenlő 0,80, nagyobb szám, mint 0,64.

Msgstr "A négyzetgyökx"általában úgynevezett radikális jel, vagy csak egy radikális (√) segítségével írják. Így bármelyikrex​:

négyzetgyökét képviseli. Ezt megfordítva a szám négyzetétx2-es kitevővel íródottx​²). Az exponensek felülírják a szövegszerkesztést és a kapcsolódó alkalmazásokat, és hatásköröknek is nevezik őket. Mivel a radikális jeleket nem mindig könnyű előállítani igény szerint, a "négyzetgyök" megírásának másik módjax"exponens használata:

Ez viszont egy általános rendszer része:

jelentése: emelnixerejérey, majd vegye be az'gyökere. "x​^1/2 tehát "emelést" jelentxaz első hatalomhoz, ami egyszerűenxújra, majd vegye be a 2 gyökerét, vagy a négyzetgyököt. "Ezt kibővítve,x​^(5/3) jelentése: emelnix5 erejéig, majd keresse meg az eredmény harmadik gyökerét (vagy kocka gyökerét). "

A radikálisok a 2-es, a négyzetgyöktől eltérő gyökerek ábrázolására használhatók. Ez úgy történik, hogy egyszerűen egy felső indexet csatolunk a radikális bal felső sarkához.

akkor ugyanazt a számot jelenti, mintx​^(5/3) az előző bekezdésből nem.

A legtöbb négyzetgyök irracionális szám. Ez azt jelenti, hogy nem csak szép, szép egész számok (például 1, 2, 3, 4.. .), de ezek sem fejezhetők ki tiszta decimális számként, amely a kerekítés nélkül végződik. A racionális szám törtben kifejezhető. Tehát annak ellenére, hogy a 2.75 nem egész szám, racionális szám, mert ugyanaz, mint a 11/4-es tört. Korábban azt mondták neked, hogy az 50 négyzetgyöke 7,071, de ez valójában a végtelen számú tizedesjegytől kerekítve van. A √50 pontos értéke 5√2, és hamarosan meglátja, hogyan fogják ezt meghatározni.

Látta már, hogy a négyzetek és a négyzetgyökök bevonására vonatkozó egyenletek nemlineárisak. Ennek egyszerű megjegyzése az, hogy ezen egyenletek megoldásának grafikonjai nem vonalak. Ennek értelme van, mert ha, amint megjegyeztük, a 0 négyzete 0 és a 10 négyzete 100, de a négyzet az 5 értéke nem 50, akkor a szám egyszerű négyzetezéséből származó grafikonnak a helyes felé kell görbülnie értékek.

Ez a helyzet a

amint azt Ön maga is láthatja, ha meglátogatja a számológépet az Erőforrások részben és megváltoztatja a paramétereket. Az egyenes áthalad a (0,0) ponton, és y nem megy 0 alá, amire számítani kell, mert ezt tudjax​² soha nem negatív. Láthatja azt is, hogy a grafikon szimmetrikus ay-tengely, aminek azért is van értelme, mert egy adott szám minden pozitív négyzetgyökéhez hasonló nagyságú negatív négyzetgyök társul. Ezért a 0 kivételével mindenyértéke a grafikonony​ = ​x​² kettővel társulxértékek.

Az alapvető négyzetgyökproblémák kézi kezelésének egyik módja a tökéletes négyzetek keresése a probléma belsejében. Először is fontos, hogy tisztában legyünk a négyzetek és a négyzetgyök néhány alapvető tulajdonságával. Ezek egyike, mint √x​² egyszerűen egyenlőx(mert a radikális és a kitevő kitörli egymást):

Vagyis, ha van egy tökéletes négyzete egy másik számot szorzó gyök alatt, akkor "kihúzhatja" és felhasználhatja a maradék együtthatójaként. Például visszatérve az 50 négyzetgyökéhez

Néha fel lehet vetni egy olyan négyzetgyöket tartalmazó számmal, amely törtben van kifejezve, de mégis irracionális szám, mert a nevező, a számláló vagy mindkettő tartalmaz gyököt. Ilyen esetekben felkérhetik a nevező ésszerűsítésére. Például a szám

a számlálóban és a nevezőben egyaránt gyöke van. De a "45" átvizsgálása után felismerheti a 9. és az 5. szorzataként, ami azt jelenti

Ezért a tört írható

A radikálisok törlik egymást, és 6/3 = 2 marad.