A matematikában egy szám reciproka az a szám, amely az eredeti számmal megszorozva 1-et eredményez. Például az x változó reciproka 1 /x, mivel
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
Ebben a példában az 1 /xa kölcsönös azonosságax, és fordítva. A trigonometria során a derékszögű háromszögben a nem 90 fokos szögek bármelyikét meghatározhatjuk szinusz, koszinusz és tangens nevű arányokkal. A reciprok identitások fogalmát alkalmazva a matematikusok további három arányt határoznak meg. Nevük koszekáns, szekáns és kotangens. A kosekán a szinusz kölcsönös azonossága, a koszinusz szekunder és az érintő kotangense identitása.
Hogyan lehet meghatározni a kölcsönös azonosságokat
Vegyünk egy szögetθ, amely egy derékszögű háromszög két nem 90 fokos szöge. Ha a háromszög szöggel szemközti oldalának hossza "b, "a szöggel szomszédos és a hipotenuszokkal szemközti oldal hossza"a"és a hipotenusz hossza"r, "meghatározhatjuk a három elsődleges trigonometrikus arányt e hosszúságok alapján.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
A bűn kölcsönös azonosságaθegyenlőnek kell lennie 1 / sin θ -vel, mivel ez az a szám, amely a bűnrel megszorozvaθ, 1-et produkál. Ugyanez vonatkozik a cos-ra isθés barnulθ. A matematikusok ezeknek a reciprokoknak cosecant, secant és kotangent neveket adnak. Definíció szerint:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangens} θ = \ kiságy θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Ezeket a kölcsönös azonosságokat a derékszögű háromszög oldalainak hossza alapján határozhatja meg az alábbiak szerint:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
A következő összefüggések minden szögre igazakθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Két másik trigonometrikus azonosság
Ha ismeri a szög szinuszát és koszinuszát, levezetheti az érintőt. Ez azért igaz, mert
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {és} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, tehát} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Mivel ez a tan the meghatározása, a következő azonosság, más néven hányadosidentitás következik:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ kiságy θ
A pythagoreuszi azonosság abból következik, hogy minden derékszögű háromszög eseténaésbés hipotenuszr, a következő igaz:a2 + b2 = r2. A terminusok átrendezése és a szinusz és koszinusz arányainak meghatározása a következő kifejezésre jut:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Két másik fontos összefüggés következik, amikor a szinusz és a koszinusz kölcsönös azonosságait beszúrja a fenti kifejezésbe:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ