Néha a matematikai számítások egyetlen módja a durva erő. De olyan sokszor sok munkát spórolhat meg, ha felismeri azokat a speciális problémákat, amelyek megoldására szabványosított képletet használhat. A kockák összegének megkeresése és a kockák különbségének megtalálása két példa erre: Ha már megismerte a faktoring képleteita3 + b3 vagya3 - b3, a válasz megtalálása olyan egyszerű, mint az a és b értékeinek helyettesítése a megfelelő képlettel.
Kontextusba helyezés
Először egy gyors áttekintés arról, miért érdemes megtalálni - vagy megfelelőbben "faktor" - a kockák összegét vagy különbségét. A fogalom első bevezetésekor önmagában egyszerű matematikai probléma. De ha továbbra is matematikát tanul, később ez a köztes lépés lesz a bonyolultabb számításokban. Tehát ha megkapjaa3 + b3 vagya3 − b3 válaszként más számítások során felhasználhatja azokat a készségeket, amelyeket megtanul, hogy megtörje a kockákat a számokat egyszerűbb összetevőkre bontva, ami gyakran megkönnyíti az eredeti megoldásának folytatását probléma.
A kockák összegének faktorozása
Képzelje el, hogy megérkezett a binomiálba
x ^ 3 + 27
és megkérjük, hogy egyszerűsítsék. Az első kifejezés,x3, nyilvánvalóan kockás szám. Kis vizsgálat után láthatja, hogy a második szám is valójában kockás szám: 27 megegyezik 3-val3. Most, hogy tudja, hogy mindkét szám kocka, alkalmazhatja a képletet a kocka összegére.
Írja ki mindkét számot kockás formában, ha még nem ez a helyzet. A példa folytatásához:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Miután megszokta a folyamatot, kihagyhatja ezt a lépést, és egyenesen kitöltheti az 1. lépés értékeit a képletbe. De különösen akkor, ha tanul, a legjobb, ha lépésről lépésre halad, és emlékezteti magát a képletre:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Hasonlítsa össze ennek az egyenletnek a bal oldalát az 1. lépés eredményével. Ne feledje, hogy helyettesíthetixhelyetta,és 3 helyettb.
Helyettesítse az 1. lépés értékeit a 2. lépés képletével. Szóval neked van:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Egyelőre az egyenlet jobb oldalára való megérkezés jelenti a válaszodat. Ez annak a ténynek az eredménye, hogy két kockás számot összeadunk.
A kockák különbségének figyelembevétele
Két kockás szám különbségének tényezője ugyanúgy működik. Valójában a képlet majdnem megegyezik a kockák összegének képletével. De van egy kritikus különbség: Fordítson különös figyelmet arra, hogy merre halad a mínusz jel.
Képzelje el, hogy megkapja a problémát
y ^ 3 - 125
és figyelembe kell vennie. Mint azelőtt,y3 nyilvánvaló kocka, és egy kis gondolkodással fel kell tudni ismerni, hogy a 125 valójában 53. Szóval neked van:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
A korábbiakhoz hasonlóan írja le a kockák különbségének képletét. Figyelje meg, hogy helyettesíthetiymertaés 5-reb, és külön vegye figyelembe, hogy ebben a képletben hol található a mínusz jel. A mínuszjel helye az egyetlen különbség e képlet és a kockák összegének képlete között.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Írja ki újra a képletet, ezúttal helyettesítse az 1. lépés értékeit. Ennek eredményeként:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Ismételten, ha csak annyit kell tennie, hogy figyelembe veszi a kockák különbségét, akkor ez a válasz.