Ha látja a 3. kifejezést2 és 53, virágzással jelentheti be, hogy ezek jelentése "három négyzet" és "öt kockás", és képes lesz arra, hogy egyenértékű számokat találjon anélkül, hogy kitevői, a számok, amelyeket a felső indexek képviselnek a jobb felső sarokban. Ezek a számok ebben az esetben 9 és 125.
De mi lenne, ha mondjuk egy egyszerű exponenciális függvény helyett, például y = x 3, ehelyett meg kell oldania egy olyan egyenletet, mint y = 3x. Itt x, a függő változó exponensként jelenik meg. Van-e mód arra, hogy ezt a változót lehúzza az ülőről, hogy matematikailag könnyebben kezelje?
Valójában van, és a válasz az exponensek természetes kiegészítésében rejlik, amelyek szórakoztató és hasznos mennyiségek logaritmusok.
Mik azok a kitevők?
An kitevő, más néven a erő, a szám ismételt szorzásának önmagában történő kifejezésének tömörített módja. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Az 1 hatványára emelt bármely szám ugyanazt az értéket tartja; bármely 0 kitevővel rendelkező szám egyenlő 1-vel. Például 721 = 72; 720 = 1.
Az exponensek negatívak lehetnek, létrehozhatják a kapcsolatot x−n= 1 / (xn). Kifejezhetõk frakciókként is, például 2(5/3). Ha törtekként van kifejezve, akkor a számlálónak és a nevezőnek is egész számnak kell lennie.
Mik azok a logaritmusok?
A logaritmusok vagy "naplók" olyan kitevőknek tekinthetők, amelyek nem hatalomként fejeződnek ki. Ez valószínűleg nem sokat segít, így talán egy-két példa erre is alkalmas lesz.
A kifejezésben 103 = 1,000, a 10-es szám az bázis, és a harmadik hatalomra (vagy ereje valaminek három). Ezt kifejezheti úgy: "a 10-es alapja a harmadik hatványra emelve egyenlő 1000-vel".
A logaritmus példája az napló10(1,000) = 3. Vegye figyelembe, hogy a számok és egymáshoz való viszonyuk megegyezik az előző példában leírtakkal, de áthelyezték őket. Szavakkal ez azt jelenti, hogy "az 1000 napló 10 alapja megegyezik 3-mal".
A jobb oldali mennyiség az a teljesítmény, amelyre a 10 alapját fel kell emelni, hogy megegyezzen a érv, vagy a napló bevitele, a zárójelben lévő érték (ebben az esetben 1000). Ennek az értéknek pozitívnak kell lennie, mert az alap - amely lehet más szám, mint 10, de azt feltételezzük, hogy kihagyva 10 - például "log 4" - szintén mindig pozitív.
Hasznos logaritmusszabályok
Tehát hogyan lehet egyszerűen dolgozni a naplók és az exponensek között? A naplók viselkedésére vonatkozó néhány szabály megkezdheti az exponensproblémákat.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Megoldás exponensnek
A fenti információk birtokában készen áll arra, hogy megpróbálja megoldani az egyenlet egy kitevõjét.
Példa: Ha 50 = 4x, mi az x?
Ha a naplót mindkét oldal 10 alapjára viszi, és elhagyja az alap kifejezett azonosítását, akkor ez log 50 = 4. napló leszx. A fenti mezőből ismeri azt a naplót 4x = x log 4. Így marad
log 50 = x log 4, vagy x = (log 50) / (4. log).
A választott számológéppel vagy elektronikus eszközzel azt találja, hogy a megoldás (1,689 / 0,602) = 2.82.
Exponenciális egyenletek megoldása e-vel
Ugyanezek a szabályok érvényesek, amikor az alap van e, az úgynevezett természetes logaritmus, amelynek értéke körülbelül 2,7183. Ehhez kell egy gomb a számológépén is. Ez az érték is megkapja a maga jelölését: logex egyszerűen "ln x".
- Az y = függvény ex i, e-vel nem változó, hanem állandó ezzel az értékkel, az egyetlen függvény, amelynek lejtése megegyezik a saját magasságával minden x és y esetében.
- Ugyanúgy, mint a napló1010x = x, ln ex = x minden x esetén.
Példa: Oldja meg a 16 = e egyenletet2,7x.
Mint fent, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, tehát x = 2/77 / 2,7 = 1.03.