Kretanje projektilaOdnosi se na kretanje čestice kojoj se daje početna brzina, ali koja nakon toga nije podvrgnuta nikakvim silama osim sile gravitacije.
To uključuje probleme u kojima se čestica baca pod kutom od 0 do 90 stupnjeva u odnosu na vodoravnu, pri čemu je vodoravna obično tlo. Radi praktičnosti, pretpostavlja se da ovi projektili putuju u (x, y) avion, saxpredstavlja horizontalni pomak igvertikalni pomak.
Put kojim je prošao projektil naziva se njegovputanja. (Imajte na umu da je uobičajena veza u "projektilu" i "putanji" slog "-ject", latinska riječ za "bacanje". Izbaciti nekoga doslovno je izbaciti.) Izvorna točka projektila u problemima u kojima trebate izračunati putanju obično se zbog jednostavnosti pretpostavlja (0, 0), osim ako nije drugačije izjavio.
Putanja projektila je parabola (ili barem prati dio parabole) ako je čestica lansirana na takav način da ima komponentu horizontalnog kretanja koja nije nula i nema otpora zraka koji bi utjecao na čestica.
Kinematičke jednadžbe
Varijable od interesa za kretanje čestice su njene koordinate položajaxig, njegova brzinav, i njegovo ubrzanjea, sve u odnosu na određeno proteklo vrijemetod početka problema (kada se čestica lansira ili pusti). Imajte na umu da izostavljanje mase (m) implicira da gravitacija na Zemlji djeluje neovisno o ovoj količini.
Također imajte na umu da ove jednadžbe ignoriraju ulogu otpora zraka, koji stvara silu vuče koja se suprotstavlja kretanju u stvarnim situacijama na Zemlji. Ovaj se faktor uvodi u tečajeve mehanike više razine.
Varijable kojima je dodan indeks "0" odnose se na vrijednost te količine u trenutkut= 0 i konstante su; često je ta vrijednost 0 zahvaljujući odabranom koordinatnom sustavu, a jednadžba postaje toliko jednostavnija. Ubrzanje se u tim problemima tretira kao konstanta (i u smjeru je y i jednako -g,ili–9,8 m / s2, ubrzanje uslijed gravitacije u blizini Zemljine površine).
Horizontalno gibanje:
x = x_0 + v_xt
- Uvjet
vxje konstantna x-brzina.
Okomito kretanje:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Primjeri kretanja projektila
Ključ za rješavanje problema koji uključuju izračune putanje je znanje da horizontalne (x) i okomite (y) komponente kretanje se može analizirati odvojeno, kao što je prikazano gore, i njihovi odgovarajući doprinosi ukupnom kretanju uredno sažeti na kraju problem.
Problemi s kretanjem projektila ubrajaju se u probleme slobodnog pada, bez obzira kako stvari izgledaju odmah nakon vremenat= 0, jedina sila koja djeluje na objekt koji se kreće je gravitacija.
- Imajte na umu da, jer gravitacija djeluje prema dolje, a to se uzima kao negativni smjer y, vrijednost ubrzanja je -g u tim jednadžbama i problemima.
Proračuni putanje
1. Najbrži bacači u baseballu mogu baciti loptu na nešto više od 100 milja na sat, odnosno 45 m / s. Ako se loptica baci vertikalno prema gore ovom brzinom, koliko će visoko doći i koliko će trebati da se vrati na točku u kojoj je puštena?
Ovdjevy0= 45 m / s, -g= –9,8 m / s, a interesne količine su krajnja visina, iliy,i ukupno vrijeme natrag na Zemlju. Ukupno vrijeme izračun je iz dva dijela: vrijeme do y, a vrijeme natrag do y0 = 0. Za prvi dio problema,vg,kada lopta dosegne najvišu visinu, iznosi 0.
Započnite pomoću jednadžbevg2= v0g2 - 2g (g - g0)i uključivanje vrijednosti koje imate:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2.025 - 19,6 g \ implicira y = 103,3 \ text {m}
Jednadžbavg = v0g - gtpokazuje da je vrijeme t koje je potrebno (45 / 9,8) = 4,6 sekundi. Da biste dobili ukupno vrijeme, dodajte ovu vrijednost vremenu potrebnom da lopta slobodno padne na početnu točku. Ovo dajey = y0 + v0gt - (1/2) gt2, gdje sada, jer je lopta još uvijek trenutak prije nego što počne padati,v0g = 0.
Rješavanje :
103,3 = (1/2) gt ^ 2 \ implicira t = 4,59 \ text {s}
Dakle, ukupno vrijeme je 4,59 + 4,59 = 9,18 sekundi. Možda iznenađujući rezultat da je za svaku "etapu" putovanja, gore-dolje, uzimalo se isto vrijeme, naglašava činjenica da je gravitacija jedina sila koja ovdje djeluje.
2. Jednadžba raspona:Kad se projektil lansira brzinomv0i kut θ od horizontale, ima početne vodoravne i okomite komponente brzinev0x = v0(cos θ) iv0g = v0(grijeh θ).
Jervg = v0g - gt, ivg = 0 kada projektil dosegne maksimalnu visinu, vrijeme do maksimalne visine daje se t =v0g/g. Zbog simetrije, potrebno je vrijeme za povratak na tlo (ili y = y0) je jednostavno 2t = 2v0g/g.
Napokon, kombinirajući ih s odnosom x =v0xt, pređena vodoravna udaljenost s obzirom na kut lansiranja θ je
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Posljednji korak dolazi iz trigonometrijskog identiteta 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Budući da je sin2θ maksimalna vrijednost 1 kada je θ = 45 stupnjeva, upotreba ovog kuta maksimizira vodoravnu udaljenost za zadanu brzinu pri
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}