"Sine" je matematička kratica za omjer dviju stranica pravokutnog trokuta, izražen kao razlomak: Strana nasuprot bez obzira na kut koji mjerite brojilac je razlomka, a hipotenuza pravokutnog trokuta je nazivnik. Jednom kada savladate ovaj koncept, on postaje gradivni element za formulu poznatu kao zakon sinusa, koji se može koristiti za pronalaženje nedostaju kutovi i stranice trokuta sve dok poznajete barem dva njegova kuta i jednu stranicu ili dvije stranice i jedan kut.
Osvrćući se na zakon sinusa
Zakon sinusa kaže vam da će omjer kuta u trokutu i stranice nasuprot njemu biti jednak za sva tri kuta trokuta. Ili, drugačije rečeno:
grijeh (A) /a = grijeh (B) /b = grijeh (C) /c, gdje su A, B i C kutovi trokuta i a, b i c su duljine stranica nasuprot tim kutovima.
Ovaj je oblik najkorisniji za pronalaženje kutova koji nedostaju. Ako koristite zakon sinusa da biste pronašli duljinu stranice trokuta koja nedostaje, također ga možete zapisati s sinusima u nazivniku:
a/ grijeh (A) = b/ grijeh (B) = c/sin(C)
Pronalaženje kuta koji nedostaje sa zakonom sinusa
Zamislite da imate trokut s jednim poznatim kutom - recimo da kut A mjeri 30 stupnjeva. Znate i mjeru dviju stranica trokuta: stranica a, koji je nasuprot kutu A, mjeri 4 jedinice i bok b mjere 6 jedinica.
Pazite se dvosmislenog slučaja zakona sinusa, koji može nastati ako vam je, kao u ovom problemu, dana dužina dviju stranica i kut koji nije između njih. Dvosmisleni slučaj jednostavno je upozorenje da u ovom specifičnom nizu okolnosti mogu postojati dva moguća odgovora. Već ste pronašli jedan mogući odgovor. Da biste raščlanili još jedan mogući odgovor, od 180 stupnjeva oduzmite kut koji ste upravo pronašli. Dodajte rezultat prvom poznatom kutu koji ste imali. Ako je rezultat manji od 180 stupnjeva, taj "rezultat" koji ste upravo dodali prvom poznatom kutu drugo je moguće rješenje.
Unesite sve poznate informacije u prvi oblik zakona sinusa, koji je najbolji za pronalaženje kutova koji nedostaju:
grijeh (30) / 4 = grijeh (B) / 6 = grijeh (C) /c
Zatim odaberite cilj; u ovom slučaju pronađite mjeru kuta B.
Postavljanje problema jednostavno je poput postavljanja međusobno jednakog prvog i drugog izraza ove jednadžbe. Trenutno se ne trebate brinuti oko trećeg mandata. Dakle, imate:
grijeh (30) / 4 = grijeh (B) / 6
Pomoću kalkulatora ili grafikona pronađite sinus poznatog kuta. U ovom slučaju, sin (30) = 0,5, tako da imate:
(0,5) / 4 = sin (B) / 6, što pojednostavljuje na:
0,125 = grijeh (B) / 6
Pomnožite svaku stranu jednadžbe sa 6 da biste izolirali mjerenje sinusa nepoznatog kuta. Ovo vam daje:
0,75 = grijeh (B)
Pomoću kalkulatora ili tablice pronađite inverzni sinus ili arksinus nepoznatog kuta. U ovom je slučaju inverzni sinus od 0,75 približno 48,6 stupnjeva.
Upozorenja
Pronalaženje strane zakonu sinusa
Zamislite da imate trokut s poznatim kutovima od 15 i 30 stupnjeva (nazovimo ih A i B) i duljinom stranice a, koji je nasuprot kutu A, dugačak je 3 jedinice.
Kao što je prethodno spomenuto, tri kuta trokuta uvijek se zbrajaju do 180 stupnjeva. Dakle, ako već znate dva kuta, mjeru trećeg kuta možete pronaći oduzimanjem poznatih kutova od 180:
180 - 15 - 30 = 135 stupnjeva
Dakle, kut koji nedostaje je 135 stupnjeva.
Napunite podatke koje već znate u formulu zakona sinusa, koristeći drugi obrazac (što je najlakše kada računate stranu koja nedostaje):
3 / grijeh (15) = b/ grijeh (30) = c/sin(135)
Odaberite stranu koja nedostaje želite pronaći duljinu. U ovom slučaju, radi praktičnosti, pronađite duljinu stranice b.
Da biste postavili problem, odabrat ćete dva odnosa sinusa danih u zakonu sinusa: onaj koji sadrži vašu metu (stranu b) i onaj za kojeg već znate sve informacije (to je strana a i kut A). Postavite te dvije sinusne relacije jednake jedna drugoj:
3 / grijeh (15) = b/sin(30)
Sada riješi za b. Započnite pomoću kalkulatora ili tablice da biste pronašli vrijednosti grijeha (15) i grijeha (30) i popunite ih u svoju jednadžbu (za ovaj primjer upotrijebite razlomak 1/2 umjesto 0,5), što daje vas:
3/0.2588 = b/(1/2)
Imajte na umu da će vam učitelj reći koliko daleko (i ako) želite zaokružiti vaše vrijednosti sinusa. Oni bi također mogli zatražiti da upotrijebite točnu vrijednost sinusne funkcije, koja je u slučaju grijeha (15) vrlo neuredna (√6 - √2) / 4.
Dalje, pojednostavite obje strane jednadžbe, sjećajući se da je dijeljenje razlomkom isto što i množenje njegovim inverznim:
11,5920 = 2_b_
Promijenite strane jednadžbe radi praktičnosti, jer su varijable obično navedene s lijeve strane:
2_b_ = 11,5920
I na kraju, dovršite rješavanje za b. U ovom slučaju, sve što morate učiniti je podijeliti obje strane jednadžbe s 2, što vam daje:
b = 5.7960
Dakle, stranica vašeg trokuta koja nedostaje duga je 5,7960 jedinica. Možete isto tako lako upotrijebiti isti postupak za rješavanje strane c, postavljajući svoj pojam u zakonu sinusa jednak izrazu za bočnu a, budući da već znate potpune informacije te strane.