U geometrijskom nizu, svaki je član jednak prethodnom članu pomnožen s konstantnim, nula-množiteljem koji se naziva zajednički faktor. Geometrijski nizovi mogu imati fiksni broj članaka ili mogu biti beskonačni. U oba slučaja, pojmovi geometrijskog niza mogu brzo postati vrlo veliki, vrlo negativni ili vrlo blizu nuli. U usporedbi s aritmetičkim nizovima, pojmovi se mijenjaju mnogo brže, ali dok je beskonačna aritmetika nizovi se kontinuirano povećavaju ili smanjuju, geometrijski nizovi mogu se približiti nuli, ovisno o zajedničkom faktor.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Geometrijski niz je poredani popis brojeva u kojem je svaki pojam umnožak prethodnog pojma i fiksni, nula-množitelj koji se naziva zajednički faktor. Svaki je član geometrijskog niza geometrijska sredina pojmova koji mu prethode i slijede. Beskonačni geometrijski nizovi sa zajedničkim faktorom između +1 i −1 približavaju se granici nule kao pojmovi dodaju se dok se nizovi sa zajedničkim faktorom većim od +1 ili manjim od -1 prelaze u plus ili minus beskonačnost.
Kako funkcioniraju geometrijski nizovi
Geometrijski niz definiran je početnim brojema, zajednički faktorri broj pojmovaS. Odgovarajući opći oblik geometrijskog niza je:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Opća formula za pojamngeometrijskog niza (tj. bilo koji pojam unutar tog niza) je:
a_n = ar ^ {n-1}
Rekurzivna formula koja definira pojam u odnosu na prethodni pojam je:
a_n = ra_ {n-1}
Primjer geometrijskog niza s početnim brojem 3, zajedničkim faktorom 2 i osam pojmova je 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Izračunavajući zadnji pojam pomoću gore navedenog općeg obrasca, pojam je:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Koristeći opću formulu za pojam 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Ako želite koristiti rekurzivnu formulu za pojam 5, tada je pojam 4 = 24 i a5 jednako:
a_5 = 2 × 24 = 48
Svojstva geometrijskog niza
Geometrijski nizovi imaju posebna svojstva što se tiče geometrijske sredine. Geometrijska sredina dva broja kvadratni je korijen njihova proizvoda. Na primjer, geometrijska sredina 5 i 20 je 10, jer je umnožak 5 × 20 = 100, a kvadratni korijen 100 je 10.
U geometrijskim sekvencama svaki je pojam geometrijska sredina pojma prije njega i pojma nakon njega. Na primjer, u slijedu 3, 6, 12... gore, 6 je geometrijska sredina 3 i 12, 12 je geometrijska sredina 6 i 24, a 24 je geometrijska sredina 12 i 48.
Ostala svojstva geometrijskih nizova ovise o zajedničkom faktoru. Ako je zajednički faktorrje veći od 1, beskonačni geometrijski nizovi približit će se pozitivnoj beskonačnosti. Akorje između 0 i 1, nizovi će se približiti nuli. Akorje između nule i -1, nizovi će se približiti nuli, ali izrazi će se izmjenjivati između pozitivnih i negativnih vrijednosti. Akorje manji od -1, izrazi će se kretati prema pozitivnoj i negativnoj beskonačnosti dok se izmjenjuju između pozitivnih i negativnih vrijednosti.
Geometrijski nizovi i njihova svojstva posebno su korisni u znanstvenim i matematičkim modelima procesa iz stvarnog svijeta. Upotreba određenih slijedova može pomoći u proučavanju populacija koje rastu fiksnom brzinom tijekom određenih vremenskih razdoblja ili ulaganja koja donose kamate. Opće i rekurzivne formule omogućuju predviđanje točnih vrijednosti u budućnosti na temelju polazišta i zajedničkog čimbenika.