Konceptvlastite vrijednostije nejasna, ali vrlo dobro dolazi matematičarima i fizičarima suočenim s određenim zanimljivim problemima.
Da biste razumjeli vlastitu vrijednost, zamislite da imate funkciju (npr.g = x2 + 6x, ilig= log 4x) koji biste mogli provesti kroz neki postupak takav da bi rezultat bio jednak množenju cijele funkcije konstantnom vrijednošću. Takva bi se funkcija kvalificirala kaovlastita funkcija, a konstanta bi bila vlastita vrijednost.
- "Eigen" je njemački za "isto".
Da biste najbolje razumjeli vlastite vrijednosti i vlastite funkcije i mogli sami izračunati vlastite vrijednosti, trebate osnovno razumijevanje matrica. Ovi se matematički trikovi koriste za određivanje, recimo, reda veza NO2 (dušikov dioksid) i druge molekule, jer se ponašanje elektrona u atomima određuje valnim funkcijama koje se kvalificiraju kao vlastite funkcije.
Što je matrica?
Matrica je niz brojeva poredanih u retke i stupce, koji mogu brojati od 1 don. Dimenzije matrica daju se redom po stupac; na primjer, slijedi matrica 2 na 3:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matrice se mogu zbrajati ako su iste veličine (odnosno imaju jednak broj redaka i isti broj stupaca). Oni se također mogu pomnožiti postupnim postupkom pod istim uvjetima. Uz to, bilo koja matrica može se pomnožiti s vektorom, koji je 1 putanilin-za-1 matricu; to uključuje i ostale vektore.
Što je jednadžba vlastite vrijednosti?
Recimo da imaten-po-nili "kvadratna" matricaA, nulan-vektor 1v, i skalarλ, takav da je zadovoljena sljedeća jednadžba:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Bilo koja vrijednostλza koje ova jednadžba ima rješenje poznata je kao vlastita vrijednost matriceA.
Ne dopustite da se vaš um odnosi prema gornjim izrazima kao prema proizvodu.Ajeoperaterna, ili linearna transformacija vektorav, ovo izračunavanje je moguće samo zatoAivoboje imajunredaka.
Zašto koristiti funkcije vlastite vrijednosti?
Izvođenje je komplicirano, ali u atomskoj kemiji Hamiltonov operator "H-bar" koristi se za izražavanje kinetičke i potencijalne energije sustava:
\ šešir H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ šešir V (x, y, z)
To se koristi za pisanje oblikaSchrodingerova jednadžba valne funkcijeu kvantnoj mehanici:
\ šešir Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
OvdjeEpredstavlja vlastite vrijednosti koje zadovoljavaju ovu jednadžbu.
Načini pronalaženja vlastitih vrijednosti matrice
Iz jednadžbe Av = λv dobivateA v − λv=0. Ovo vodi do:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
GdjeJaje matrica identiteta 2-prema-2 s redovima [λ0] i [0λ], što dovodi do 1 kada se pomnoži sa skalaromλ. Ovaj rezultat daje:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Koji akovnije nula, rješenje ima samo ako je apsolutna vrijednostA− λJa, ili |A − λJa|, je nula. Ako to radite ručno, to uključuje rješavanje kvadratne jednadžbe i može biti zamorno.
Da biste pomnožili dvije matrice, za svaku točku u matrici proizvoda pomnožite odgovarajuće točke i dodajte ovo proizvodima preostalih elemenata redaka i stupaca u retku i stupcu kojima je nova točka pripada.
U množenju dvije matrice 2 s 2AiBzajedno, ako je prvi red odAje [1 3] i prvi stupacBje [2 5], broj u prvom stupcu i retku nove matrice bio bi [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, što bi odgovaralo za ostale tri točke.
Izračunajte vlastite vrijednosti na mreži
U Resursima ćete pronaći alat za izračunavanje matrice koji vam omogućuje da pronađete vlastite vrijednosti i još više za matricu gotovo bilo koje zamislive veličine.
